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A farmer is building a fence to enclose a rectangular area against an existing wall. Three of the sides will require fencing and the fourth wall already exists. If the farmer has 252 feet of fencing, what is the largest area the farmer can enclose?

Ask by Warner Lawson. in the United States
Mar 03,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

The largest area the farmer can enclose is 7,938 square feet.

Solution

Let's designate the side parallel to the wall as x and the two sides perpendicular to the wall as y each. Since the wall doesn't require fencing, the total fencing used is for one x side and two y sides:   x + 2y = 252 Solve for x:   x = 252 − 2y The area A of the rectangle is:   A = x * y = (252 − 2y) * y = 252y − 2y² To maximize the area, differentiate A with respect to y and set the derivative equal to zero:   dA/dy = 252 − 4y = 0 Solve for y:   4y = 252 ⟹ y = 63 feet Substitute y back into the equation for x:   x = 252 − 2(63) = 252 − 126 = 126 feet Thus, the maximum area is:   A = x * y = 126 * 63 = 7938 square feet So, the largest area the farmer can enclose is 7,938 square feet.

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

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The Deep Dive

To maximize the area using 252 feet of fencing against an existing wall, we can utilize the formula for the area of a rectangle, which is length times width (A = L × W). Given that the wall serves as one of the long sides, the farmer will only need to fence the other three sides, resulting in the equation: L + 2W = 252. By rearranging the formula to express L in terms of W (L = 252 - 2W) and substituting into the area equation, we find that maximizing the area leads us to set W to 63 feet and L to 126 feet. This provides an enclosed area of 7,938 square feet! Finding the optimal dimensions can sometimes be tricky! One common mistake is miscalculating the perimeter constraint. Remember, since one side is against the wall, only three sides need fencing. Always double-check that you’re allocating the fencing correctly to avoid running short or overestimating your area. It’s a great practice to lay out what you have before diving into complex calculations!

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