(31) \( A B C D \) est un parallélogramme tel que: \[ A B=7, A D=3 \text { et } B D=5 \text {. } \] - Calculer la longueur \( A C \).

Pour calculer la longueur de la diagonale \( AC \) du parallélogramme \( ABCD \), nous pouvons utiliser le théorème de la médiane. Nous savons que dans un parallélogramme, les longueurs des côtés opposés sont égales, donc \( BC = 7 \) et \( AD = 3 \). Cependant, cela ne semble pas correspondre aux autres dimensions fournies. En utilisant la formule de la diagonale dans un parallélogramme, nous avons : \[ AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos(\angle A) \] Comme \( AB \) et \( AD \) sont les longueurs des côtés adjacents et ne forment pas un angle droit, nous n'avons pas assez d'informations pour le calcul. On peut néanmoins utiliser les quatre longueurs pour établir un système, mais avec les valeurs données, il semblerait qu'il y ait une incohérence. Pour simplifier, calculons la distance \( AC \) en utilisant la relation de Pythagore dans ce cas : En faisant un schéma, on constate que les valeurs fournies ne peuvent pas aboutir à un parallélogramme régulier avec les côtés 7, 3 et 5. Probablement, une réévaluation des valeurs initiales serait nécessaire pour un parallélogramme valable. Pour un parallélogramme typique, avec plus de détails sur les angles ou les longueurs directes, on pourrait utiliser : \[ AC = \sqrt{BD^2 + AD^2} \] Par exemple, pour \(BD = 5\) et \(AD = 3\), nous aurions : \[ AC = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83. \] En ajustant les valeurs pour corriger les dimensions, nous obtiendrons un parallélogramme cohérent pour le calcul de \(AC\).