2. Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО и ОЕ, если АО $$ =2 $$ см, ОК $$ =12 $$ см, МЕ $$ =10 $$ см. 3. Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая AK , которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если АК:КР $$ =4: 5, \mathrm{AB}= $$ 12.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте решим обе задачи по очереди.

### Задача 2
У нас есть хорды окружности $$АК$$ и $$МЕ$$, которые пересекаются в точке $$О$$. Известно:
- $$AO = 2$$ см
- $$OK = 12$$ см
- $$ME = 10$$ см

Сначала найдем длину отрезка $$AK$$:
$$
AK = AO + OK = 2 + 12 = 14 \text{ см}
$$

Теперь, используя теорему о произведении отрезков, которые образуют пересекающиеся хорды, мы можем записать:
$$
AO \cdot OK = MO \cdot OE
$$
Обозначим $$MO = x$$ и $$OE = y$$. Тогда:
$$
2 \cdot 12 = x \cdot y
$$
$$
24 = x \cdot y
$$

Также известно, что $$ME = MO + OE$$:
$$
x + y = 10
$$

Теперь у нас есть система уравнений:
1. $$xy = 24$$
2. $$x + y = 10$$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$
y = 10 - x
$$

Подставим это значение в первое уравнение:
$$
x(10 - x) = 24
$$
$$
10x - x^2 = 24
$$
$$
x^2 - 10x + 24 = 0
$$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$$
D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4
$$

Теперь найдем корни:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 2}{2} = \{6, 4\}
$$

Таким образом, $$MO = 6$$ см и $$OE = 4$$ см (или наоборот).

### Задача 3
Из точки $$A$$ проведена касательная $$AB$$ и секущая $$AK$$, которая пересекает окружность в точках $$K$$ и $$P$$. Известно:
- $$AK:KR = 4:5$$
- $$AB = 12$$

Обозначим $$AK = 4x$$ и $$KR = 5x$$. Тогда:
$$
AP = AK + KR = 4x + 5x = 9x
$$

Согласно теореме о касательной и секущей:
$$
AB^2 = AP \cdot AK
$$
Подставим известные значения:
$$
12^2 = 9x \cdot 4x
$$
$$
144 = 36x^2
$$
$$
x^2 = 4 \implies x = 2
$$

Теперь найдем длины отрезков:
$$
AK = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}
$$
$$
AP = 9x = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см}
$$

### Ответы:
1. Длина отрезка $$MO = 6$$ см и $$OE = 4$$ см.
2. Длина отрезка $$AK = 8$$ см и $$AP = 18$$ см.
Длина отрезка МО составляет 6 см, а ОЕ — 4 см. Длина отрезка АК равна 8 см, а АР — 18 см.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Geometry Questions