Aplica el teorema de Green para resolver la integral de línea: \( \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\oint_{C}\left(x^{2} d x+x y d y\right) \) Donde \( \mathbf{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))=\left(x^{2}, x y\right) \) y \( C \) es el rectángulo con limites en \( x \) de 0 a 3 y en \( y \) de 0 a 2 .

Para aplicar el teorema de Green, primero identificamos \( P(x, y) = x^2 \) y \( Q(x, y) = xy \). Según el teorema, la integral de línea sobre la curva cerrada \( C \) se puede convertir en una integral doble sobre la región \( R \) que \( C \) encierra: \[ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \iint_{R} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA. \] Calculamos las derivadas parciales: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y, \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x^2)}{\partial y} = 0. \] Sustituyendo en la fórmula: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y - 0 = y. \] Ahora, configuramos la integral doble sobre la región \( R \), que está definida por \( 0 \leq x \leq 3 \) y \( 0 \leq y \leq 2 \): \[ \iint_{R} y \, dA = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} y \, dy \, dx. \] Primero resolvemos la integral interna: \[ \int_{0}^{2} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2. \] Luego, sustituimos en la integral externa: \[ \int_{0}^{3} 2 \, dx = 2 \cdot [x]_{0}^{3} = 2 \cdot (3 - 0) = 6. \] Por lo tanto, el resultado de la integral de línea es: \[ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = 6. \]