1. En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor $$ y $$, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. $$ \begin{array}{llll} ext { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & ext { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & ext { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & ext { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} $$

Question

1. En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor $$ y $$, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. $$ \begin{array}{llll}	ext { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & 	ext { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & 	ext { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & 	ext { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} $$

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**a)**  
La integral  
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\,dx
$$  
es impropia porque el límite superior es infinito. Para asignarle un valor, se define  
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t\to+\infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x}\,dx.
$$  
Calculamos la integral antiderivada:  
$$
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x|.
$$  
Por lo tanto,  
$$
\int_{1}^{t} \frac{1}{x}\,dx = \ln|t| - \ln(1) = \ln t.
$$  
Tomando el límite, tenemos:  
$$
\lim_{t\to+\infty} \ln t = +\infty.
$$  
Dado que el límite es infinito, la integral diverge y no se le puede asignar un valor finito.

---

**b)**  
La integral  
$$
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\,dx
$$  
es impropia porque el límite inferior es infinito en valor absoluto (se extiende hasta $$-\infty$$). Se define como  
$$
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\,dx = \lim_{t\to-\infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\,dx.
$$  
Realizamos el cambio de variable  
$$
u = x-1, \quad du = dx.
$$  
Cuando $$x=t$$ se cumple $$u=t-1$$, y cuando $$x=0$$ se cumple $$u=-1$$. La integral se transforma en:  
$$
\int_{t}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\,dx = \int_{t-1}^{-1} \frac{1}{u^2}\,du.
$$  
La antiderivada de $$\frac{1}{u^2}$$ es  
$$
\int \frac{1}{u^2}\,du = -\frac{1}{u}.
$$  
Entonces,  
$$
\int_{t-1}^{-1} \frac{1}{u^2}\,du = \left[-\frac{1}{u}\right]_{u=t-1}^{u=-1} = \left(-\frac{1}{-1}\right) - \left(-\frac{1}{t-1}\right) = 1 + \frac{1}{t-1}.
$$  
Tomando el límite cuando $$t\to -\infty$$ (observando que $$t-1\to -\infty$$), tenemos  
$$
\lim_{t\to-\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right) = 1.
$$  
Por lo tanto, la integral converge y su valor asignado es $$1$$.

---

**c)**  
La integral  
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx
$$  
es impropia debido al límite superior infinito. Se define como  
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx = \lim_{t\to+\infty} \int_{0}^{t} e^{-x}\,dx.
$$  
La antiderivada de $$e^{-x}$$ es  
$$
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
$$  
Entonces,  
$$
\int_{0}^{t} e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{t} = -e^{-t} + e^{0} = 1 - e^{-t}.
$$  
Tomando el límite cuando $$t\to+\infty$$ se obtiene:  
$$
\lim_{t\to+\infty}(1 - e^{-t}) = 1 - 0 = 1.
$$  
Por tanto, la integral converge y su valor es $$1$$.

---

**d)**  
La integral  
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx
$$  
es impropia porque los límites de integración se extienden hasta $$-\infty$$ y $$+\infty$$. Sin embargo, podemos analizar la función $$f(x) = x e^{-x^2}$$. Esta función es impar, es decir, satisface  
$$
f(-x) = -x e^{-x^2} = -f(x).
$$  
La integral de una función impar en un intervalo simétrico respecto a cero vale cero, siempre que la integral converja (y en este caso converge de manera absoluta). Formalmente, utilizando límites simétricos:  
$$
\int_{-t}^{t} x e^{-x^2}\,dx = 0 \quad \text{para cualquier } t>0.
$$  
Por lo que al tomar el límite $$t\to+\infty$$ se obtiene  
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx = 0.
$$

---

En resumen:  
- a) Diverge ($$\infty$$).  
- b) Converge y su valor es $$1$$.  
- c) Converge y su valor es $$1$$.  
- d) Converge y su valor es $$0$$.
**a)** La integral $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\,dx $$ es impropia porque el límite superior es infinito. Su valor es infinito, por lo que no se le puede asignar un valor finito. --- **b)** La integral $$ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\,dx $$ es impropia debido al límite inferior infinito. Converge y su valor es $$1$$. --- **c)** La integral $$ \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx $$ es impropia por el límite superior infinito. Converge y su valor es $$1$$. --- **d)** La integral $$ \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx $$ es impropia por los límites infinitos. Converge y su valor es $$0$$. --- **Resumen:** - a) Diverge ($$\infty$$). - b) Converge y su valor es $$1$$. - c) Converge y su valor es $$1$$. - d) Converge y su valor es $$0$$.

En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana-
licen si se le puede asignar un valor , cuando corresponda, indiquen
cuál es ese valor.

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En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor , cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor.