Geben Sie die komplexe Zahl $$ z=\frac{3^{\frac{3}{2} \cdot i}}{2}+\frac{3}{2} $$ in Exponentialform $$ z=r e^{ ext {ivar } \varphi} $$ an. Hinweis: Geben Sie sqrt $$ (a) $$ für $$ \sqrt{a} $$ ein. $$ z=? . \exp (?) $$

Question

Geben Sie die komplexe Zahl $$ z=\frac{3^{\frac{3}{2} \cdot i}}{2}+\frac{3}{2} $$ in Exponentialform $$ z=r e^{	ext {ivar } \varphi} $$ an. Hinweis: Geben Sie sqrt $$ (a) $$ für $$ \sqrt{a} $$ ein. $$ z=? . \exp (?) $$

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Wir beginnen mit der Zahl

$$
z=\frac{3^{\frac{3}{2}i}}{2}+\frac{3}{2}\,.
$$

Zuerst schreiben wir $$ 3^{\frac{3}{2} i} $$ um in die Exponentialform. Es gilt nämlich

$$
3^{\frac{3}{2} i}=e^{\frac{3}{2} i\ln3}\,.
$$

Somit kann $$ z $$ geschrieben werden als

$$
z=\frac{1}{2}\,e^{\frac{3}{2} i\ln3}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\Bigl(e^{\frac{3}{2} i\ln3}+3\Bigr)\,.
$$

Um nun die Exponentialform

$$
z=r\,e^{i\varphi}
$$

zu erhalten, berechnen wir zuerst den Realteil und den Imaginärteil.

Schreiben wir

$$
e^{\frac{3}{2}i\ln3}=\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)\,,
$$

ergibt sich

$$
z=\frac{1}{2}\left[3+\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)\right] + i\,\frac{1}{2}\,\sin\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)\,.
$$

Damit sind die Komponenten

$$
\Re(z)=\frac{3+\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}{2},\qquad \Im(z)=\frac{\sin\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}{2}\,.
$$

Der Betrag $$ r $$ erhält man über

$$
r=\sqrt{\Re(z)^2+\Im(z)^2}=\sqrt{\left(\frac{3+\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}{2}\right)^2+\left(\frac{\sin\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}{2}\right)^2}\,.
$$

Faktorisieren wir $$\frac{1}{4}$$ aus beiden Termen:

$$
r=\frac{1}{2}\sqrt{\Bigl(3+\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)\Bigr)^2+\sin^2\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}\,.
$$

Beachten Sie, dass

$$
\Bigl(3+\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)\Bigr)^2+\sin^2\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)=9+6\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)+\cos^2\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)+\sin^2\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)\,.
$$

Da

$$
\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\,,
$$

folgt

$$
9+6\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)+1=10+6\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)\,.
$$

Damit erhalten wir

$$
r=\frac{1}{2}\sqrt{10+6\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}\,.
$$

Für den Winkel $$\varphi$$ verwenden wir

$$
\varphi=\arctan\left(\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\right)=\arctan\left(\frac{\sin\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}{3+\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}\right)\,.
$$

Schließlich schreiben wir die Exponentialform der Zahl $$ z $$ als

$$
z=\frac{\sqrt{10+6\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}}{2}\,\exp\!\left(i\,\arctan\frac{\sin\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}{3+\cos\Bigl(\frac{3}{2}\ln3\Bigr)}\right)\,.
$$
$$ z = \frac{\sqrt{10 + 6 \cos\left(\frac{3}{2} \ln 3\right)}}{2} \cdot \exp\left(i \cdot \arctan\left(\frac{\sin\left(\frac{3}{2} \ln 3\right)}{3 + \cos\left(\frac{3}{2} \ln 3\right)}\right)\right) $$

Geben Sie die komplexe
Zahl in
Exponentialform an.
Hinweis: Geben
Sie sqrt für ein.

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Geben Sie die komplexe Zahl in Exponentialform an. Hinweis: Geben Sie sqrt für ein.