Question
Devoir maison de Mathématiques \( n^{\circ} \mathbf{3} \) (second degré) : Ce devoir sera à remettre au plus tard le Mardi 11 Mars. \( \begin{array}{l}\text { Vous êtes invité à faire figurer sur votre copie toute trace de recherche, même incomplète ou } \\ \text { non fructueuse, que vous aurez développée. } \\ \text { Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront } \\ \text { prises en compte dans l'appréciation des copies. } \\ \text { Tous les résultats doivent être encadrés. }\end{array} \) On considère la fonction \( \boldsymbol{K} \) définie sur \( \mathbb{R} \) par: \( \boldsymbol{K}(\boldsymbol{t})=\mathbf{2 t} \boldsymbol{t}^{2} \) - \( \mathbf{1 2 t} \boldsymbol{t}+\mathbf{1 0} \). On appelle \( \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{K}} \) sa représentation graphique dans un repère orthonormé. 1) Après avoir donné les coefficients de la fonction \( \boldsymbol{K} \), déterminer ses racines. 2) En déduire la forme factorisée de \( \boldsymbol{K}(\boldsymbol{t}) \) sur \( \mathbb{R} \). 3) Dresser le tableau de signes de \( \boldsymbol{K}(\boldsymbol{t}) \) sur \( \mathbb{R} \) puis en déduire les solutions de l'inéquation \( \boldsymbol{K}(\boldsymbol{t})>\mathbf{0} \). 4) Déterminer la forme canonique de la fonction \( \boldsymbol{K} \). 5) En déduire le tableau de variations de \( \boldsymbol{K} \) sur \( \mathbb{R} \) puis donner l'axe de symétrie de \( \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{K}} \).
Ask by Mcdonald French. in Guadeloupe
Mar 10,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
1) **Coefficients et racines**
La fonction est \( K(t) = 2t^2 - 12t + 10 \). Les racines sont \( t = 1 \) et \( t = 5 \).
2) **Forme factorisée**
\( K(t) = 2(t - 1)(t - 5) \).
3) **Tableau de signes et solutions de \( K(t) > 0 \)**
- \( K(t) > 0 \) pour \( t < 1 \) et \( t > 5 \).
4) **Forme canonique**
\( K(t) = 2(t - 3)^2 - 8 \).
5) **Tableau de variations et axe de symétrie**
- La fonction est décroissante pour \( t < 3 \) et croissante pour \( t > 3 \).
- L'axe de symétrie est \( t = 3 \).
Solution
1) **Coefficients et détermination des racines**
La fonction considérée est
\[
K(t)=2t^2-12t+10.
\]
Les coefficients sont :
\[
a=2,\quad b=-12,\quad c=10.
\]
Pour déterminer les racines, on calcule le discriminant \(\Delta\) :
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4\times2\times10 = 144 - 80 = 64.
\]
Les racines de l'équation \(K(t)=0\) sont données par :
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{12 \pm 8}{4}.
\]
On obtient ainsi :
\[
t_1=\frac{12-8}{4}=\frac{4}{4}=1 \quad \text{et} \quad t_2=\frac{12+8}{4}=\frac{20}{4}=5.
\]
Les racines sont donc \(t=1\) et \(t=5\).
2) **Forme factorisée**
D'après les racines trouvées, la fonction \(K(t)\) se factorise en :
\[
K(t)=2(t-1)(t-5).
\]
3) **Tableau de signes et solutions de l'inéquation \(K(t)>0\)**
Le facteur \(2\) est positif. Les signes des facteurs \((t-1)\) et \((t-5)\) se déduisent des racines.
- Pour \(t<1\) :
\((t-1)<0\) et \((t-5)<0\).
Le produit \((t-1)(t-5)\) est positif (car produit de deux négatifs) et donc \(K(t)>0\).
- Pour \(10\) et \((t-5)<0\).
Le produit \((t-1)(t-5)\) est négatif, donc \(K(t)<0\).
- Pour \(t>5\) :
\((t-1)>0\) et \((t-5)>0\).
Le produit \((t-1)(t-5)\) est positif et ainsi \(K(t)>0\).
Le tableau de signes est :
| \(t\) | \(-\infty\) | | \(1\) | | \(5\) | | \(+\infty\) |
|-----------------|-------------|---------|-------|---------|-------|---------|-------------|
| \(t-1\) | - | | \(0\)| + | + | | + |
| \(t-5\) | - | | - | | \(0\)| + | + |
| \(K(t)=2(t-1)(t-5)\) | + | | \(0\)| - | \(0\)| + | + |
L'inéquation \(K(t)>0\) se résout donc sur :
\[
t\in(-\infty,1)\cup(5,+\infty).
\]
4) **Forme canonique**
Pour mettre \(K(t)=2t^2-12t+10\) sous forme canonique, on commence par factoriser le coefficient de \(t^2\) :
\[
K(t)=2\left(t^2-6t\right)+10.
\]
On complète le carré dans l'expression entre parenthèses. On a :
\[
t^2-6t = (t-3)^2 - 9.
\]
Ainsi :
\[
K(t)=2\left[(t-3)^2-9\right]+10 = 2(t-3)^2 - 18 + 10 = 2(t-3)^2 - 8.
\]
La forme canonique est donc :
\[
K(t)=2(t-3)^2-8.
\]
5) **Tableau de variations et axe de symétrie**
La forme canonique montre que le sommet de la parabole est \((3,-8)\).
- La fonction est décroissante sur \((-\infty,3]\) et croissante sur \([3,+\infty)\) (car le coefficient devant le carré, \(2\), est positif).
Le tableau de variations est :
| \(t\) | \(-\infty\) | | \(3\) | | \(+\infty\) |
|----------------|-------------|---------|------------|---------|-------------|
| \(K(t)\) | \(+\infty\) | \(\downarrow\) | \(-8\) (minimum) | \(\uparrow\) | \(+\infty\) |
L'axe de symétrie de la parabole \(C_K\) est la droite :
\[
t=3.
\]
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Simplify this solution The Deep Dive
Pour résoudre les parties de cet exercice, il est important de se rappeler que la fonction \( \boldsymbol{K}(t) = 2t^2 - 12t + 10 \) est une fonction quadratique. Les coefficients principaux ici sont \( a = 2 \), \( b = -12 \) et \( c = 10 \). Pour trouver les racines, vous pouvez utiliser la formule quadratique : \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Cela vous permettra de déterminer les valeurs de \( t \) pour lesquelles \( K(t) = 0 \). Pour la factorisation de \( K(t) \), une fois que vous aurez trouvé vos racines, vous pourrez écrire \( K(t) \) sous la forme \( K(t) = a(t - r_1)(t - r_2) \), où \( r_1 \) et \( r_2 \) sont les racines que vous avez calculées. Cela vous aidera non seulement pour le tableau de signes, mais également pour établir les variations de la fonction au cours de votre travail. Soit créatif et rigoureux dans votre démarche, même si vous faites des erreurs, cela montre que vous avez cherché à comprendre le sujet !
