Un \( 10 \% \) de las herramientas producidas en una fábrica son defectuosas hallar la probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas tomadas al azar 2 sean defectuosas

Para resolver este problema, utilizaremos la distribución binomial, ya que estamos tratando con un número fijo de ensayos (10 herramientas), dos posibles resultados (defectuosa o no defectuosa) y una probabilidad constante de éxito (en este caso, que una herramienta sea defectuosa). ### Conocidos: - \( n = 10 \) (número de herramientas) - \( k = 2 \) (número de herramientas defectuosas) - \( p = 0.10 \) (probabilidad de que una herramienta sea defectuosa) - \( q = 1 - p = 0.90 \) (probabilidad de que una herramienta no sea defectuosa) ### Fórmula de la distribución binomial: La probabilidad de que exactamente \( k \) de \( n \) ensayos sean éxitos se calcula con la siguiente fórmula: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \] donde \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial, que se calcula como: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] ### Paso 1: Calcular el coeficiente binomial Primero, calculamos \( \binom{10}{2} \): \[ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] ### Paso 2: Calcular \( p^k \) y \( q^{n-k} \) Ahora calculamos \( p^k \) y \( q^{n-k} \): \[ p^k = (0.10)^2 = 0.01 \] \[ q^{n-k} = (0.90)^{10-2} = (0.90)^8 \] ### Paso 3: Calcular \( (0.90)^8 \) Ahora calculamos \( (0.90)^8 \): \[ (0.90)^8 \approx 0.43046721 \] ### Paso 4: Calcular la probabilidad total Finalmente, sustituimos todos los valores en la fórmula de la probabilidad: \[ P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot (0.10)^2 \cdot (0.90)^8 \] \[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.01 \cdot 0.43046721 \] Ahora realizamos el cálculo: \[ P(X = 2) \approx 45 \cdot 0.01 \cdot 0.43046721 \approx 0.1937102445 \] ### Resultado final La probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas tomadas al azar, 2 sean defectuosas es aproximadamente \( 0.1937 \) o \( 19.37\% \).