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La derivada de \( y = \sqrt{r^{2} - x^{2}} \) con respecto a \( x \) es \( \frac{ -x }{ \sqrt{ r^{2} - x^{2} } } \).
Solution
Para hallar la derivada de la función \( y = \sqrt{r^{2} - x^{2}} \) con respecto a \( x \), seguiremos los siguientes pasos:
1. **Expresar la función en forma de exponente:**
\[
y = (r^{2} - x^{2})^{\frac{1}{2}}
\]
2. **Aplicar la regla de la cadena para derivar:**
La derivada de \( y \) respecto a \( x \) es:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(r^{2} - x^{2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x)
\]
3. **Simplificar la expresión:**
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2\sqrt{r^{2} - x^{2}}} = \frac{-x}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}}
\]
Por lo tanto, la derivada de \( y \) respecto a \( x \) es:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{ -x }{ \sqrt{ r^{2} - x^{2} } }
\]
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Simplify this solution The Deep Dive
Para hallar la derivada de la función \( y = \sqrt{r^{2} - x^{2}} \), puedes usar la regla de la cadena. Primero, reescribe la función en forma de potencia: \( y = (r^{2} - x^{2})^{1/2} \). Al aplicar la derivada, obtenemos: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(r^{2} - x^{2})^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} \] Así que la derivada es \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} \). Ahora, recuerda que si \( x \) se aproxima a \( r \), la derivada puede volverse indefinida, ya que el denominador se aproxima a cero. Así que siempre es importante analizar el dominio de la función para evitar pérdidas de información.
