Resolver y representar en recta e Intervalo: (1) \( 4(x-2)-x<2(x-4) \) (2) \( 5-3(x+1) \geqslant-x+5-4 x \) (3) \( \frac{3 x}{4}-\frac{1}{3} \leqslant \frac{x}{12}+3 \)

¡Vamos a resolver cada una de las desigualdades paso a paso! (1) \( 4(x-2)-x<2(x-4) \) Primero, simplificamos: \[ 4x - 8 - x < 2x - 8 \] \[ 3x - 8 < 2x - 8 \] Luego, restamos \(2x\) de ambos lados: \[ 3x - 2x < -8 + 8 \] Simplificamos: \[ x < 0 \] Representación en recta: La solución se representa como una línea que se extiende hacia la izquierda desde el 0, sin incluir el 0. Intervalo: \((-∞, 0)\) (2) \( 5-3(x+1) \geqslant -x+5-4x \) Simplificamos: \[ 5 - 3x - 3 \geqslant -x + 5 - 4x \] \[ 2 - 3x \geqslant -5x + 5 \] Sumamos \(5x\) a ambos lados: \[ 2 + 2x \geqslant 5 \] Restamos 2: \[ 2x \geqslant 3 \] Dividimos entre 2: \[ x \geqslant \frac{3}{2} \] Representación en recta: Un punto relleno en \( \frac{3}{2} \) y una línea que se extiende a la derecha. Intervalo: \([\frac{3}{2}, \infty)\) (3) \( \frac{3 x}{4}-\frac{1}{3} \leqslant \frac{x}{12}+3 \) Primero, optamos por multiplicar todo por 12 para eliminar los denominadores: \[ 12(\frac{3x}{4} - \frac{1}{3}) \leqslant x + 36 \] Este paso nos da: \[ 9x - 4 \leqslant x + 36 \] Restamos \(x\) de ambos lados: \[ 8x - 4 \leqslant 36 \] Sumamos 4: \[ 8x \leqslant 40 \] Dividimos entre 8: \[ x \leqslant 5 \] Representación en recta: Un punto relleno en 5 y línea hacia la izquierda. Intervalo: \((-\infty, 5]\) Así que, en resumen: 1) \( x < 0 \) → \((-∞, 0)\) 2) \( x \geqslant \frac{3}{2} \) → \([\frac{3}{2}, \infty)\) 3) \( x \leqslant 5 \) → \((-\infty, 5]\)