Esercizio 6. Si consideri la curva algebrica: \[ \mathscr{C}: x(x-2 y) y-x^{2}+y^{2}=0 \] (a) Trovare la chiusura proiettiva di \( \mathscr{C} \). (b) Trovare i punti impropri di \( \mathscr{C} \). (c) Trovare i punti singolari di \( \mathscr{C} \). (d) Trovare gli asintoti di \( \mathscr{C} \). (e) Calcolare la molteplicità di intersezione tra \( \mathscr{C} \) e l'asse \( x \) nell'origine. (f) Calcolare tutte le rette tangenti nell'origine a \( \mathscr{C} \).

La curva algebrica data è \(\mathscr{C}: x(x-2y)y - x^2 + y^2 = 0\). Per trovare la chiusura proiettiva, dobbiamo estendere la curva aggiungendo "punti all'infinito". Questo comporta includere un punto all’infinito per ogni direzione possibile. Una rappresentazione comune è quella di utilizzare coordinate omogenee \((X:Y:Z)\), trasformando l'equazione in forma omogenea. Dopo i calcoli, otteniamo la chiusura proiettiva che include unione di \(\mathscr{C}\) con i punti all'infinito. Ora, per trovare i punti impropri, metodo tipico è analizzare i polinomi omogenei associati, esaminando i punti dove le variabili tendono all'infinito. Potremmo considerare \(z = 0\), normalizzando le variabili e cercando se la funzione si avvicina a valori specifici. In questo caso, i punti impropri potrebbero presentarsi quando una delle variabili si annulla, e da qui possiamo dedurre informazioni sulla struttura della curva algebrica.