$$ \int _{}^{}x^{4}\sqrt {x^{2}+1} d x $$

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Parece que no puedo calcular la integral $$ \int x^{4}\sqrt{x^{2}+1} \, dx $$ directamente en este momento. Sin embargo, puedo guiarte a través del proceso de resolución.

### Paso 1: Sustitución
Para resolver la integral, podemos usar la sustitución. Vamos a usar la siguiente sustitución:

$$
u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies dx = \frac{du}{2x}
$$

### Paso 2: Expresar $$ x^4 $$ en términos de $$ u $$
Dado que $$ u = x^2 + 1 $$, podemos expresar $$ x^2 $$ como $$ x^2 = u - 1 $$. Entonces:

$$
x^4 = (x^2)^2 = (u - 1)^2
$$

### Paso 3: Reescribir la integral
Sustituyendo $$ x^4 $$ y $$ dx $$ en la integral, obtenemos:

$$
\int x^{4}\sqrt{x^{2}+1} \, dx = \int (u - 1)^{2} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u - 1}}
$$

### Paso 4: Expandir y simplificar
Ahora, expandimos $$ (u - 1)^{2} $$ y simplificamos la integral. Esto puede volverse un poco complicado, pero el objetivo es obtener una forma que se pueda integrar fácilmente.

### Paso 5: Integrar
Finalmente, después de simplificar, puedes integrar término por término.

Si necesitas más ayuda con un paso específico o si deseas que continúe con la integración, házmelo saber.
Para resolver la integral $$ \int x^{4}\sqrt{x^{2}+1} \, dx $$, puedes usar la sustitución $$ u = x^2 + 1 $$, lo que simplifica la integral a una forma más manejable. Luego, expandir y simplificar los términos para integrar término por término.

\( \int _{}^{}x^{4}\sqrt {x^{2}+1} d x \)

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