280 Capitulo 4: Integración EJEMPLO 6 a) \[ \begin{array}{l} =\int \frac{1}{2} \int(1-\cos 2 x) d x=\frac{1}{2} \int d x-\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x \\ =\frac{1}{2} x-\frac{1}{2} \frac{\operatorname{sen} 2 x}{2}+C=\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen} 2 x}{4}+C \end{array} \] b) \( \int \cos ^{2} x d x=\int \frac{1+\cos 2 x}{2} d x \) \[ \cos ^{3} x=\frac{1+\cos 2 x}{2} \] \[ =\frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen} 2 x}{4}+C \] Como en la parte (a). pero con cambio de signo Ejercicios 4.1 Búsqueda de antiderivadas En los ejercicios 1-18, halla una antiderivada para cada función. Haz mentalmente cuantas puedas. Confirma tus respuestas diferenciándolas. 1. a) \( 2 x \) b) \( x^{2} \) b) \( x^{7} \) 2. a) \( 6 x \) 3. a) \( -3 x^{-4} \) 4. a) \( 2 x^{-3} \) b) \( x^{-4} \) b) \( \frac{x^{-3}}{2}+x^{2} \) 5. a) \( \frac{1}{x^{2}} \) 6. a) \( -\frac{2}{x^{3}} \) 7. a) \( \frac{3}{2} \sqrt{x} \) 8. a) \( \frac{4}{3} \sqrt[2]{x} \) 9. a) \( \frac{2}{3} x^{-17} \) 10. a) \( \frac{1}{2} x^{-3 / 2} \) 11. a) \( -\frac{\pi}{\operatorname{sen} \pi x} \) 12. a) \( \pi \cos \pi \pi \) 13. (1) \( \operatorname{ten}^{2} \). 14. a) \( \cos ^{2} x \) c) \( x^{2}-2 x+1 \) c) \( x^{7}-6 x+8 \) c) \( x^{-4}+2 x+3 \) c) \( -x^{-3}+x-1 \) 15. a) \( \csc x \cot x \) c) \( -\pi \csc \frac{\pi x}{2} \cot \frac{\pi x}{2} \) 16. a) \( \sec x \tan x \) c) \( \sec \frac{\pi x}{2} \tan \frac{\pi x}{2} \) 17. \( (\operatorname{sen} x-\cos x)^{2} \) c) \( 2-\frac{5}{x^{2}} \) c) \( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \) c) \( \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} \) c) \( \sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \) c) \( -\frac{1}{3} x^{-4 / 3} \) c) \( -\frac{3}{2} x^{-1 / 2} \) c) \( \operatorname{sen} \pi x-3 \operatorname{sen} 3 x \) e) \( \cos \frac{\pi x}{2}+\pi \cos x \) e) \( -\sec ^{2} \frac{3 x}{2} \) c) \( 1-x \csc ^{2} 2 x \) Evaluación de integrales diferenciándolas. 19. \( \int(x+1) d x \) 21. \( \int\left(3 t^{2}+\frac{t}{2}\right) d t \) 23. \( \int\left(2 x^{3}-5 x+7\right) d x \) 25. \( \int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}\right) d x \) 27. \( \int x^{-1 / 2} d x \) 29. \( \int(\sqrt{x}+\sqrt{x}) d x \) b) \( -\csc 5 x \cot 5 x \) Evalúa las integrales de los ejercicios 19-58. Confirmat tus tes 20. \( \int(5-6 x) d x \) 22. \( \int\left(\frac{t^{2}}{2}+4 t^{2}\right) d t \) 24. \( \int\left(1-x^{2}-3 x^{t}\right) d x \) 26. \( \int\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{x^{3}}+2 x\right) \) 31. \( \int\left(\mathrm{By}-\frac{2}{y^{1 / 4}}\right) d y \) 28. \( \int x^{-9 / 4} d x \) 30. \( \int\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x \) 32. \( \int\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{41}}\right) d y \)
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Extra Insights
¡Hablemos de la historia detrás de la integración! En el siglo XVII, las matemáticas estaban en plena efervescencia gracias a figuras como Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, quienes desarrollaron de manera independiente el cálculo. La notación que utilizamos hoy en día, como el símbolo \( \int \), fue introducida por Leibniz. Él quería representar la idea de acumulación, algo que queda claro en cuanto empezamos a estudiar las integrales. ¿Sabías que la integral se utiliza en diversas aplicaciones del mundo real? Por ejemplo, en la física, al calcular áreas bajo la curva, podemos determinar la distancia recorrida por un objeto cuando conocemos su velocidad en función del tiempo. ¡Incluso en la economía, las integrales nos ayudan a encontrar el ingreso total a partir de funciones de precio! Así que la próxima vez que resuelvas una integral, recuerda que estás aplicando una herramienta poderosa que va más allá de la pizarra.