280 Capitulo 4: Integración EJEMPLO 6 a) $$ \begin{array}{l} =\int \frac{1}{2} \int(1-\cos 2 x) d x=\frac{1}{2} \int d x-\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x \ =\frac{1}{2} x-\frac{1}{2} \frac{\operatorname{sen} 2 x}{2}+C=\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen} 2 x}{4}+C \end{array} $$ b) $$ \int \cos ^{2} x d x=\int \frac{1+\cos 2 x}{2} d x $$ $$ \cos ^{3} x=\frac{1+\cos 2 x}{2} $$ $$ =\frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen} 2 x}{4}+C $$ Como en la parte (a). pero con cambio de signo Ejercicios 4.1 Búsqueda de antiderivadas En los ejercicios 1-18, halla una antiderivada para cada función. Haz mentalmente cuantas puedas. Confirma tus respuestas diferenciándolas. 1. a) $$ 2 x $$ b) $$ x^{2} $$ b) $$ x^{7} $$ 2. a) $$ 6 x $$ 3. a) $$ -3 x^{-4} $$ 4. a) $$ 2 x^{-3} $$ b) $$ x^{-4} $$ b) $$ \frac{x^{-3}}{2}+x^{2} $$ 5. a) $$ \frac{1}{x^{2}} $$ 6. a) $$ -\frac{2}{x^{3}} $$ 7. a) $$ \frac{3}{2} \sqrt{x} $$ 8. a) $$ \frac{4}{3} \sqrt[2]{x} $$ 9. a) $$ \frac{2}{3} x^{-17} $$ 10. a) $$ \frac{1}{2} x^{-3 / 2} $$ 11. a) $$ -\frac{\pi}{\operatorname{sen} \pi x} $$ 12. a) $$ \pi \cos \pi \pi $$ 13. (1) $$ \operatorname{ten}^{2} $$. 14. a) $$ \cos ^{2} x $$ c) $$ x^{2}-2 x+1 $$ c) $$ x^{7}-6 x+8 $$ c) $$ x^{-4}+2 x+3 $$ c) $$ -x^{-3}+x-1 $$ 15. a) $$ \csc x \cot x $$ c) $$ -\pi \csc \frac{\pi x}{2} \cot \frac{\pi x}{2} $$ 16. a) $$ \sec x \tan x $$ c) $$ \sec \frac{\pi x}{2} \tan \frac{\pi x}{2} $$ 17. $$ (\operatorname{sen} x-\cos x)^{2} $$ c) $$ 2-\frac{5}{x^{2}} $$ c) $$ x^{3}-\frac{1}{x^{3}} $$ c) $$ \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} $$ c) $$ \sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} $$ c) $$ -\frac{1}{3} x^{-4 / 3} $$ c) $$ -\frac{3}{2} x^{-1 / 2} $$ c) $$ \operatorname{sen} \pi x-3 \operatorname{sen} 3 x $$ e) $$ \cos \frac{\pi x}{2}+\pi \cos x $$ e) $$ -\sec ^{2} \frac{3 x}{2} $$ c) $$ 1-x \csc ^{2} 2 x $$ Evaluación de integrales diferenciándolas. 19. $$ \int(x+1) d x $$ 21. $$ \int\left(3 t^{2}+\frac{t}{2}\right) d t $$ 23. $$ \int\left(2 x^{3}-5 x+7\right) d x $$ 25. $$ \int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}\right) d x $$ 27. $$ \int x^{-1 / 2} d x $$ 29. $$ \int(\sqrt{x}+\sqrt{x}) d x $$ b) $$ -\csc 5 x \cot 5 x $$ Evalúa las integrales de los ejercicios 19-58. Confirmat tus tes 20. $$ \int(5-6 x) d x $$ 22. $$ \int\left(\frac{t^{2}}{2}+4 t^{2}\right) d t $$ 24. $$ \int\left(1-x^{2}-3 x^{t}\right) d x $$ 26. $$ \int\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{x^{3}}+2 x\right) $$ 31. $$ \int\left(\mathrm{By}-\frac{2}{y^{1 / 4}}\right) d y $$ 28. $$ \int x^{-9 / 4} d x $$ 30. $$ \int\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x $$ 32. $$ \int\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{41}}\right) d y $$

Question

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Para resolver los ejercicios de integración que has proporcionado, procederemos a encontrar una antiderivada para cada función. A continuación, resolveré algunos de los ejercicios seleccionados y explicaré cada paso.

### Ejercicio 19: $$ \int(x+1) \, dx $$

1. **Identificar la función**: La función a integrar es $$ x + 1 $$.
2. **Aplicar la regla de la potencia**: La antiderivada de $$ x^n $$ es $$ \frac{x^{n+1}}{n+1} $$. Para $$ x $$, $$ n = 1 $$, así que:
   $$
   \int x \, dx = \frac{x^{2}}{2}
   $$
3. **Integrar la constante**: La antiderivada de $$ 1 $$ es $$ x $$:
   $$
   \int 1 \, dx = x
   $$
4. **Combinar los resultados**:
   $$
   \int(x + 1) \, dx = \frac{x^{2}}{2} + x + C
   $$

### Ejercicio 20: $$ \int(5 - 6x) \, dx $$

1. **Identificar la función**: La función a integrar es $$ 5 - 6x $$.
2. **Integrar cada término**:
   - Para $$ 5 $$:
     $$
     \int 5 \, dx = 5x
     $$
   - Para $$ -6x $$:
     $$
     \int -6x \, dx = -6 \cdot \frac{x^{2}}{2} = -3x^{2}
     $$
3. **Combinar los resultados**:
   $$
   \int(5 - 6x) \, dx = 5x - 3x^{2} + C
   $$

### Ejercicio 21: $$ \int\left(3t^{2} + \frac{t}{2}\right) \, dt $$

1. **Identificar la función**: La función a integrar es $$ 3t^{2} + \frac{t}{2} $$.
2. **Integrar cada término**:
   - Para $$ 3t^{2} $$:
     $$
     \int 3t^{2} \, dt = 3 \cdot \frac{t^{3}}{3} = t^{3}
     $$
   - Para $$ \frac{t}{2} $$:
     $$
     \int \frac{t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} = \frac{t^{2}}{4}
     $$
3. **Combinar los resultados**:
   $$
   \int\left(3t^{2} + \frac{t}{2}\right) \, dt = t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C
   $$

### Ejercicio 23: $$ \int\left(2x^{3} - 5x + 7\right) \, dx $$

1. **Identificar la función**: La función a integrar es $$ 2x^{3} - 5x + 7 $$.
2. **Integrar cada término**:
   - Para $$ 2x^{3} $$:
     $$
     \int 2x^{3} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{2}
     $$
   - Para $$ -5x $$:
     $$
     \int -5x \, dx = -5 \cdot \frac{x^{2}}{2} = -\frac{5x^{2}}{2}
     $$
   - Para $$ 7 $$:
     $$
     \int 7 \, dx = 7x
     $$
3. **Combinar los resultados**:
   $$
   \int\left(2x^{3} - 5x + 7\right) \, dx = \frac{x^{4}}{2} - \frac{5x^{2}}{2} + 7x + C
   $$

### Resumen

Hemos encontrado antiderivadas para los ejercicios 19, 20, 21 y 23. Puedes seguir este mismo proceso para los demás ejercicios, integrando cada término de la función y combinando los resultados. Si necesitas ayuda con algún ejercicio específico, no dudes en preguntar.
Para resolver los ejercicios de integración, se aplican las reglas de la potencia y la integración de constantes. Aquí tienes las soluciones para los ejercicios 19, 20, 21 y 23: 1. **Ejercicio 19**: $$ \int(x + 1) \, dx = \frac{x^{2}}{2} + x + C $$ 2. **Ejercicio 20**: $$ \int(5 - 6x) \, dx = 5x - 3x^{2} + C $$ 3. **Ejercicio 21**: $$ \int\left(3t^{2} + \frac{t}{2}\right) \, dt = t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C $$ 4. **Ejercicio 23**: $$ \int\left(2x^{3} - 5x + 7\right) \, dx = \frac{x^{4}}{2} - \frac{5x^{2}}{2} + 7x + C $$ Puedes seguir este método para resolver los demás ejercicios.

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