$$ 7 ^ { \lg x } - 5 ^ { \lg x + 1 } = 3 \cdot 5 ^ { \lg x - 1 } - 13 \cdot 7 ^ { \lg x - 1 } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим уравнение:

7^(lg x) – 5^(lg x + 1) = 3·5^(lg x – 1) – 13·7^(lg x – 1).

Обозначим A = 7^(lg x) и B = 5^(lg x). Заметим, что:

5^(lg x + 1) = 5·5^(lg x) = 5B,
  5^(lg x – 1) = (1/5)·5^(lg x) = B/5,
  7^(lg x – 1) = (1/7)·7^(lg x) = A/7.

Подставим эти обозначения в уравнение:

A – 5B = 3·(B/5) – 13·(A/7).

Чтобы избавиться от дробей, домножим обе части уравнения на 35 (НОК знаменателей 5 и 7):

35·(A – 5B) = 35·[3·(B/5) – 13·(A/7)].

Выполним умножение:

35A – 175B = 7·3B – 5·13A,
  35A – 175B = 21B – 65A.

Перенесём подобные слагаемые в одну часть:

35A + 65A = 175B + 21B,
  100A = 196B.

Отсюда получаем:

A = (196/100)B = (49/25)B.

Напомним, что A = 7^(lg x) и B = 5^(lg x), тогда:

7^(lg x) = (49/25)·5^(lg x).

Поделим обе части уравнения на 5^(lg x):

(7^(lg x))/(5^(lg x)) = 49/25,
  (7/5)^(lg x) = 49/25.

Заметим, что 49/25 = (7²)/(5²) = (7/5)². Таким образом, уравнение принимает вид:

(7/5)^(lg x) = (7/5)².

Так как основание (7/5) > 0 и ≠ 1, можно приравнять показатели степеней:

lg x = 2.

Отсюда:

x = 10² = 100.

Ответ: x = 100.
$$ x = 100 $$

\( 7 ^ { \lg x } - 5 ^ { \lg x + 1 } = 3 \cdot 5 ^ { \lg x - 1 } - 13 \cdot 7 ^ { \lg x - 1 } \)