\( \int _ { 3 } ^ { 4 } ( x ^ { - 2 } + x ^ { - 3 } ) e ^ { \frac { 1 } { x } } d x \)

) 8. Al sustituir \( u=\operatorname{sen} \theta \), ¿qué resultado se obtiene al evaluar \( \int \operatorname{sen}^{2} \theta \cos \theta d \theta \) ? \( \begin{array}{llll}\text { A) }-\cos ^{2} \theta \operatorname{sen} \theta+C & \text { B) } \frac{1}{6} \operatorname{sen}^{3} \theta \cos ^{2} \theta+C & \text { C) } 2 \operatorname{sen}^{2} \theta \cos ^{2} \theta-\operatorname{sen}^{3} \theta & \text { D) } \frac{1}{3}\end{array} \)

Un arquitecto está diseñando una estructura y necesita encontrar el punto más alto de una parábola que describe el arco de un puente. La función que describe el arco es \( y=-x^{2}+4 x+5 \). Indica el procedimiento para utilizar la derivada en este contexto para encontrar el punto más alto del arco. a. Integrar la función \( y(x) \). b. Evaluar la función \( y(x) \) en varios puntos. c. Graficar la función \( y(x) \) y encontrar el máximo visualmente. d. Derivar la función \( y(x) \), igualar a cero y resolver para \( x \).

Given the differential equation \( \frac{dy}{dx} = 3y \) and the initial condition \( y(0) = 2 \), find the particular solution.

Evaluate the given improper integral or show it diverges: \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}} d x \]

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями: \[ y=3 \sin x, y=-2 \sin x, x=0, x=\frac{2 \pi}{3} \]