\( \int \int \int x y d V \quad D : \left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 } \\ { 0 \leq z \leq 1 } \end{array} \right. \)

Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies par : \( f(x)=3 x-5 \) et \( g(x)=\frac{2 x^{2}+1}{x^{2}+1} \) 1) Montrer que : \( \forall x \in \mathbb{R} ; g(x)=1+\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \) 2) Montrer que : \( \forall x \in \mathbb{R} ; g(x)=2-\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \) Et déduire que : \( \forall x \in \mathbb{R} ; 1 \leq g(x) \leq 2 \) 3) La fonction \( f \) est-elle bornée sur \( \mathbb{R} \) ? 4) Montrer que la fonction \( g \circ f \) est bornée sur \( \mathbb{R} \) 5) Montrer que : \( \forall x \in \mathbb{R} ;-2 \leq(g \circ f)(x) \leq 1 \)

\( \int _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { - \sqrt { 2 x - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) d x d y d x \)

\( \int \cos ^ { 5 } ( 7 x - 7 ) d x \)

Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x)=2 \cos x-x \) 1) a ) montrer pour tout \( x \) de \( I=[0 ; \pi]-\pi-2 \leq f(x) \leq 2 \) b) étudier la monotonie de la fonction \( x \mapsto \cos x \) sur l'intervalle \( I \). c) déduire la monotonie de la fonction \( f \). 2) On pose : \( g(x)=f(4 x) \) Etudier la monotonie de la fonction \( g \) sur l'intervalle \( \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \) 3) On pose : \( h(x)=(2 \cos x-x)^{2} \) a. Déterminer une fonction \( u \) vérifiant \( h=u \circ f \). b. Déterminer la monotonie de sur \( \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \).

Actividad 5. Integración por fracciones parciales Instrucción: Resuelve la siguiente integral por el método de fracciones parciales. Valor: 5 puntos Resuelve: \( \quad \int \frac{x-11}{x^{2}+3 x-4} d x \)