Pregunta 1 (10 Puntos) Calcular la derivada direccional de la funcion \( f(x, y)=\varepsilon^{x^{4}-4 y^{4}} \), en el punto \( (-2,1) \) y en la direccion del vector il \( =(1,-5) \)

4. \( [3+2=5 \) points \( ] \) (a) Find the area of the region enclosed by: \[ y=\sin x, \quad \text { and } \quad y=2 \cos x, \quad \text { over the interval }[0, \pi] \]

6. Si la derivada de la función \( y \) es \( \frac{d y}{d x}=2 x^{2}-5 x-3, y \) los números críticos de una función son aquellos valores donde la derivada vale cero, entonces los números críticos de la función \( f \) son: \( \begin{array}{ll}\text { a) } c_{1}=\frac{1}{2} & c_{2}=-3 \\ \text { b) } c_{1}=-\frac{1}{2} & c_{2}=-3 \\ \text { c) } c_{1}=\frac{1}{2} & c_{2}=3 \\ \text { (d) } c_{1}=-\frac{1}{2} & c_{2}=3\end{array} \)

\( \int \frac { 3 x - 1 } { \sqrt { 1 - x } + 2 } d \)

Sia \( f \in C^{\infty}(R) \) e sia \( f(x)=x^{3}(x+o(x)) \). Allora si ha (a) il polinomio di McLaurin di ordine 4 di \( f \) è \( x^{4} \) (b) \( x^{3} \) è il polinomio di McLaurin di \( f \) di ordine 4 (c) \( f(x)=o\left(x^{4}\right) \) (d) \( f^{(5)}(0) \) non esiste (e) nessuna delle altre affermazioni è corretta

3. Sia \( f(x)=x^{7} e^{3 x} \). Allora si ha \( \begin{array}{l}\text { (a) } f^{(8)}(0)=0 \\ \text { (b) } f^{(7)}(0)=0 \\ \text { (c) } f^{(8)}(0)=3 \cdot 8! \\ \text { (d) } f^{(3)}(0)=8 \cdot 3! \\ \text { (e) } f^{(3)}(0)=24\end{array} \)