\( \frac { e ^ { x ^ { 2 } } + e ^ { y ^ { 2 } } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 1 \)

Analizaremos la ecuación \[ \frac{e^{x^2} + e^{y^2}}{x^2 + y^2} = 1 \] para \( x, y \in \mathbb{R} \). **Paso 1.** Notar que para cualquier número real \( z \), \( e^{z} > 0 \). En particular, para \( x^2 \) y \( y^2 \) tenemos \[ e^{x^2} > 0 \quad \text{y} \quad e^{y^2} > 0. \] Además, como \( x^2 \ge 0 \) y \( y^2 \ge 0 \), se tiene \[ x^2 + y^2 \ge 0. \] El caso \( x^2 + y^2 = 0 \) ocurre únicamente cuando \( x = 0 \) y \( y = 0 \). En ese punto el denominador es cero y la expresión está indefinida. Por lo tanto, debemos considerar \( x^2 + y^2 > 0 \). **Paso 2.** Sea \[ R = x^2 + y^2 > 0. \] De esta forma, la ecuación se escribe como \[ \frac{e^{x^2} + e^{y^2}}{R} = 1 \quad \Longrightarrow \quad e^{x^2} + e^{y^2} = R. \] **Paso 3.** Empleamos la desigualdad de la media aritmética aplicada a las funciones exponenciales, reconociendo que la función \( e^t \) es convexa. Dado que \( x^2 \) y \( y^2 \) son no negativos y suman \( R \), la desigualdad de Jensen nos garantiza que \[ \frac{e^{x^2} + e^{y^2}}{2} \ge e^{\frac{x^2+y^2}{2}} = e^{\frac{R}{2}}, \] lo que implica \[ e^{x^2} + e^{y^2} \ge 2e^{\frac{R}{2}}. \] **Paso 4.** Reemplazando en la ecuación obtenida en el Paso 2 se tiene \[ 2e^{\frac{R}{2}} \le R. \] Es decir, para que la ecuación se cumpla es necesario que \[ R \ge 2e^{\frac{R}{2}}. \] **Paso 5.** Analizamos la desigualdad \[ R \ge 2e^{\frac{R}{2}} \] para \( R > 0 \). Realizamos el cambio de variable \[ u = \frac{R}{2} \quad \Longrightarrow \quad R = 2u, \] de forma que la desigualdad se transforma en \[ 2u \ge 2e^{u} \quad \Longrightarrow \quad u \ge e^{u}. \] Estudiamos ahora la función \( f(u) = u - e^u \) para \( u > 0 \). En \( u = 0 \) se tiene \[ f(0) = 0 - e^0 = -1, \] y para \( u > 0 \) la exponencial \( e^u \) crece mucho más rápido que \( u \). Es claro que para cualquier \( u > 0 \) se tiene \[ u < e^u, \] lo que implica \[ u - e^u < 0. \] Por lo tanto, la desigualdad \( u \ge e^u \) no se cumple para ningún \( u > 0 \). **Paso 6.** Concluimos que la condición necesaria \[ R \ge 2e^{\frac{R}{2}} \] no tiene soluciones para \( R > 0 \). Esto significa que no existen valores de \( x \) e \( y \) (distintos de \( (0,0) \)) que satisfagan \[ e^{x^2} + e^{y^2} = x^2 + y^2. \] Y recordemos que en \( (0,0) \) la expresión original está indefinida. **Conclusión:** La ecuación \[ \frac{e^{x^2} + e^{y^2}}{x^2 + y^2} = 1 \] no tiene soluciones reales.