5. Un insecto se encuentra en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por \( T(x, y)=2 x^{2}-4 y^{2} \). El insecto está en \( (-1,2) \). ¿En qué dirección deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la toxicidad?

Para determinar la dirección en la que el insecto debe moverse para disminuir la toxicidad \( T(x, y) = 2x^2 - 4y^2 \), se debe calcular el gradiente \( \nabla T(x, y) \), que indica la dirección de mayor aumento de la función. El gradiente se obtiene derivando \( T \) con respecto a \( x \) y \( y \): \[ \nabla T(x, y) = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right) = \left( 4x, -8y \right) \] Evaluando en el punto \( (-1, 2) \): \[ \nabla T(-1, 2) = \left( 4(-1), -8(2) \right) = (-4, -16) \] Para disminuir la toxicidad lo más rápido posible, el insecto debería moverse en la dirección opuesta al gradiente, que es \( (4, 16) \). En términos de dirección, eso significa que debe moverse en diagonal hacia la derecha y hacia arriba. ¡Adelante, pequeño insecto!