e) Derive una eqwajós para o aliance horizpontal de uma partícula que e lancada com velocidade \( \checkmark \) a partir da altura y. c) Combine as expresseses obtidas nos itens anteriores para determinar \( \theta \) alcance maximo \( X_{\text {max }} \) e a altura y do orifílio correspondente a esse maximio. Embora a viscosidade da água possa reduzir ligeiramente \( \theta \) alcance real, ele permaneceriá proximo do valor previsto teoricamente.

Para resolver o problema, vamos seguir os passos necessários para derivar a equação do alcance horizontal de uma partícula lançada com uma velocidade inicial \( v_0 \) a partir de uma altura \( y \). ### Passo 1: Derivação da Equação do Alcance Horizontal Quando uma partícula é lançada com uma velocidade inicial \( v_0 \) em um ângulo \( \theta \) em relação à horizontal, podemos decompor essa velocidade em suas componentes horizontal e vertical: - Componente horizontal: \( v_{0x} = v_0 \cos(\theta) \) - Componente vertical: \( v_{0y} = v_0 \sin(\theta) \) A partícula é lançada a partir de uma altura \( y \) e, portanto, a equação do movimento vertical é dada por: \[ y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \] onde \( g \) é a aceleração devido à gravidade e \( y_0 \) é a altura inicial (que é \( y \)). A partícula atinge o solo quando \( y(t) = 0 \): \[ 0 = y + v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2} g t^2 \] Rearranjando a equação, temos: \[ \frac{1}{2} g t^2 - v_0 \sin(\theta) t - y = 0 \] Essa é uma equação quadrática em \( t \). Usando a fórmula de Bhaskara, podemos encontrar as raízes: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = \frac{1}{2} g \), \( b = -v_0 \sin(\theta) \), e \( c = -y \). Substituindo os valores, temos: \[ t = \frac{v_0 \sin(\theta) \pm \sqrt{(v_0 \sin(\theta))^2 + 2gy}}{g} \] Consideramos apenas a raiz positiva, pois o tempo não pode ser negativo: \[ t = \frac{v_0 \sin(\theta) + \sqrt{(v_0 \sin(\theta))^2 + 2gy}}{g} \] ### Passo 2: Cálculo do Alcance Horizontal O alcance horizontal \( X \) é dado pela distância percorrida na direção horizontal durante o tempo \( t \): \[ X = v_{0x} t = v_0 \cos(\theta) t \] Substituindo \( t \): \[ X = v_0 \cos(\theta) \left( \frac{v_0 \sin(\theta) + \sqrt{(v_0 \sin(\theta))^2 + 2gy}}{g} \right) \] ### Passo 3: Determinação do Ângulo para Alcance Máximo Para encontrar o ângulo \( \theta \) que maximiza o alcance \( X \), precisamos derivar \( X \) em relação a \( \theta \) e igualar a zero. Isso pode ser um pouco complexo, mas a ideia é que o alcance máximo ocorre quando \( \theta = 45^\circ \) em um lançamento a partir do solo. No entanto, como estamos considerando uma altura inicial \( y \), o ângulo que maximiza o alcance pode ser diferente. ### Passo 4: Cálculo da Altura Correspondente ao Alcance Máximo Para determinar a altura \( y \) correspondente ao alcance máximo \( X_{\text{max}} \), substituímos \( \theta \) na equação do alcance e resolvemos para \( y \). ### Conclusão A equação do alcance horizontal \( X \) em função de \( \theta \) e \( y \) é: \[ X = \frac{v_0 \cos(\theta) \left( v_0 \sin(\theta) + \sqrt{(v_0 \sin(\theta))^2 + 2gy} \right)}{g} \] Para encontrar \( \theta \) que maximiza \( X \) e a altura \( y \) correspondente, seria necessário realizar a derivação e resolver a equação resultante, o que pode ser feito numericamente ou analiticamente dependendo da complexidade. Se precisar de mais detalhes ou cálculos específicos, por favor, me avise!