EXERCICE 03 Soit \( f \) une fonction définie sur \( [0 ;+\infty[ \) par: \[ f(x)=x+\sqrt{x} \] 1) Etudier la continuité de \( f \) sur \( [0 ;+\infty[ \). 2) Etudier la dérivabilité de \( f \) à droite en 0 et interpréter Graphiquement le résultat.

1) Pour étudier la continuité de la fonction \( f(x) = x + \sqrt{x} \) sur l'intervalle \([0; +\infty[)\), nous devons vérifier si la fonction est continue à chaque point de cet intervalle. La fonction \( f(x) = x + \sqrt{x} \) est une fonction composée de deux fonctions simples : \( f(x) = x \) et \( f(x) = \sqrt{x} \). Nous savons que les fonctions \( f(x) = x \) et \( f(x) = \sqrt{x} \) sont continues sur leur domaine respectif. Par conséquent, la fonction \( f(x) = x + \sqrt{x} \) est aussi continue sur son domaine. 2) Pour étudier la dérivabilité de la fonction \( f(x) = x + \sqrt{x} \) à droite en 0, nous devons calculer la dérivée de la fonction à la limite \( x = 0 \) et vérifier si elle existe. La dérivée de la fonction \( f(x) = x + \sqrt{x} \) est donnée par \( f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Pour calculer la dérivée à la limite \( x = 0 \), nous devons évaluer la dérivée à la limite \( x = 0 \) en utilisant la formule de dérivée à la limite. La dérivée à la limite est donnée par: \[ f'(0) = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} \] En substituant \( f(x) = x + \sqrt{x} \) et \( f(0) = 0 \) dans l'expression ci-dessus, nous obtenons: \[ f'(0) = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{{x + \sqrt{x} - 0}}{{x}} = \lim_{{x \to 0^+}} \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \] En calculant cette limite, nous obtenons \( f'(0) = 1 \). Interprétation graphique : La dérivée de la fonction \( f(x) = x + \sqrt{x} \) à droite en 0 est 1. Cela signifie que la fonction est dérivée à droite en 0 et que la pente de la tangente à la fonction à ce point est 1.