Un móvil camina al Este 100 km , luego al Norte 60 km . después a una dirección $$ 36^{\circ} $$ al E del Norte 50 km . Dibuje el diagrama vectorial y encuentre el desplazamiento del móvil gráf y analiticamente.

Question

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$$
\textbf{1. Representación de los vectores:}
$$

- Primer desplazamiento: $$ \vec{A} = (100\, \text{km},\ 0\, \text{km}) $$ (hacia el Este)
- Segundo desplazamiento: $$ \vec{B} = (0\, \text{km},\ 60\, \text{km}) $$ (hacia el Norte)
- Tercer desplazamiento:  
  La dirección es $$36^\circ$$ al Este del Norte. Esto significa que el ángulo se mide desde el eje Norte, rotando $$36^\circ$$ hacia el Este. Por lo tanto, las componentes de este vector son:
  $$
  x: \;50\sin(36^\circ),\qquad y: \;50\cos(36^\circ)
  $$
  Entonces, $$ \vec{C} = \left(50\sin(36^\circ),\ 50\cos(36^\circ)\right) $$.

$$
\textbf{2. Cálculo de las componentes numéricas:}
$$

Utilizando aproximaciones:
$$
\sin(36^\circ) \approx 0.5878,\qquad \cos(36^\circ) \approx 0.8090
$$
Se tiene:
- Para $$ \vec{C} $$:
  $$
  \begin{aligned}
  x_C &\approx 50 \times 0.5878 = 29.39\, \text{km},\[1mm]
  y_C &\approx 50 \times 0.8090 = 40.45\, \text{km}.
  \end{aligned}
  $$

$$
\textbf{3. Suma de los vectores:}
$$

La suma total de los desplazamientos es:
$$
\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}
$$
Componentes:
$$
\begin{aligned}
R_x &= 100 + 0 + 29.39 = 129.39\, \text{km},\[1mm]
R_y &= 0 + 60 + 40.45 = 100.45\, \text{km}.
\end{aligned}
$$

$$
\textbf{4. Magnitud del desplazamiento:}
$$

Utilizamos el teorema de Pitágoras:
$$
|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(129.39)^2 + (100.45)^2}
$$
Calculando:
$$
\begin{aligned}
(129.39)^2 &\approx 16755,\[1mm]
(100.45)^2 &\approx 10090,\[1mm]
\text{Suma} &\approx 16755 + 10090 = 26845.
\end{aligned}
$$
Entonces:
$$
|\vec{R}| \approx \sqrt{26845} \approx 163.9\, \text{km}.
$$

$$
\textbf{5. Dirección del desplazamiento:}
$$

El ángulo que forma $$ \vec{R} $$ con el eje Este se obtiene por:
$$
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{100.45}{129.39}\right)
$$
Calculando:
$$
\frac{100.45}{129.39} \approx 0.776,\qquad \theta \approx \tan^{-1}(0.776) \approx 38.4^\circ.
$$
Este ángulo se mide desde el Este hacia el Norte.

$$
\textbf{6. Diagrama Vectorial (esquemático):}
$$

$$
\begin{array}{c}
\text{N} \
\;\; \uparrow\[2mm]
\quad 60\, \text{km} \
\quad \vert\[2mm]
\quad \bullet \quad \longrightarrow \quad 100\, \text{km}\, (\text{E})\[2mm]
\quad \ \backslash\[2mm]
\quad \ \ 50\, \text{km} \ (\text{con dirección }36^\circ \text{ al Este del Norte})
\end{array}
$$

En el diagrama, se parte desde el origen:
- Se traza primero el vector $$ \vec{A} $$ hacia el Este.
- Luego se une el vector $$ \vec{B} $$ hacia el Norte.
- Finalmente, desde ese punto se agrega el vector $$ \vec{C} $$ inclinado $$36^\circ$$ desde la dirección Norte hacia el Este.

La resultante $$ \vec{R} $$ une el origen con el punto final de la trayectoria.

$$
\textbf{Respuesta Final:}
$$

El desplazamiento total del móvil tiene:
$$
\text{Magnitud: } |\vec{R}| \approx 163.9\, \text{km},\qquad \text{Dirección: } 38.4^\circ \text{ al Norte del Este.}
$$
El móvil se desplaza un total de aproximadamente 163.9 km en dirección 38.4° al Norte del Este.

Un móvil camina al Este 100 km , luego al Norte 60 km . después a una dirección \( 36^{\circ} \) al E del Norte 50 km . Dibuje el diagrama vectorial y encuentre el desplazamiento del móvil gráf y analiticamente.

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