Un móvil camina al Este 100 km , luego al Norte 60 km . después a una dirección \( 36^{\circ} \) al E del Norte 50 km . Dibuje el diagrama vectorial y encuentre el desplazamiento del móvil gráf y analiticamente.

\[ \textbf{1. Representación de los vectores:} \] - Primer desplazamiento: \( \vec{A} = (100\, \text{km},\ 0\, \text{km}) \) (hacia el Este) - Segundo desplazamiento: \( \vec{B} = (0\, \text{km},\ 60\, \text{km}) \) (hacia el Norte) - Tercer desplazamiento: La dirección es \(36^\circ\) al Este del Norte. Esto significa que el ángulo se mide desde el eje Norte, rotando \(36^\circ\) hacia el Este. Por lo tanto, las componentes de este vector son: \[ x: \;50\sin(36^\circ),\qquad y: \;50\cos(36^\circ) \] Entonces, \( \vec{C} = \left(50\sin(36^\circ),\ 50\cos(36^\circ)\right) \). \[ \textbf{2. Cálculo de las componentes numéricas:} \] Utilizando aproximaciones: \[ \sin(36^\circ) \approx 0.5878,\qquad \cos(36^\circ) \approx 0.8090 \] Se tiene: - Para \( \vec{C} \): \[ \begin{aligned} x_C &\approx 50 \times 0.5878 = 29.39\, \text{km},\\[1mm] y_C &\approx 50 \times 0.8090 = 40.45\, \text{km}. \end{aligned} \] \[ \textbf{3. Suma de los vectores:} \] La suma total de los desplazamientos es: \[ \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} \] Componentes: \[ \begin{aligned} R_x &= 100 + 0 + 29.39 = 129.39\, \text{km},\\[1mm] R_y &= 0 + 60 + 40.45 = 100.45\, \text{km}. \end{aligned} \] \[ \textbf{4. Magnitud del desplazamiento:} \] Utilizamos el teorema de Pitágoras: \[ |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(129.39)^2 + (100.45)^2} \] Calculando: \[ \begin{aligned} (129.39)^2 &\approx 16755,\\[1mm] (100.45)^2 &\approx 10090,\\[1mm] \text{Suma} &\approx 16755 + 10090 = 26845. \end{aligned} \] Entonces: \[ |\vec{R}| \approx \sqrt{26845} \approx 163.9\, \text{km}. \] \[ \textbf{5. Dirección del desplazamiento:} \] El ángulo que forma \( \vec{R} \) con el eje Este se obtiene por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{100.45}{129.39}\right) \] Calculando: \[ \frac{100.45}{129.39} \approx 0.776,\qquad \theta \approx \tan^{-1}(0.776) \approx 38.4^\circ. \] Este ángulo se mide desde el Este hacia el Norte. \[ \textbf{6. Diagrama Vectorial (esquemático):} \] \[ \begin{array}{c} \text{N} \\ \;\; \uparrow\\[2mm] \quad 60\, \text{km} \\ \quad \vert\\[2mm] \quad \bullet \quad \longrightarrow \quad 100\, \text{km}\, (\text{E})\\[2mm] \quad \ \backslash\\[2mm] \quad \ \ 50\, \text{km} \ (\text{con dirección }36^\circ \text{ al Este del Norte}) \end{array} \] En el diagrama, se parte desde el origen: - Se traza primero el vector \( \vec{A} \) hacia el Este. - Luego se une el vector \( \vec{B} \) hacia el Norte. - Finalmente, desde ese punto se agrega el vector \( \vec{C} \) inclinado \(36^\circ\) desde la dirección Norte hacia el Este. La resultante \( \vec{R} \) une el origen con el punto final de la trayectoria. \[ \textbf{Respuesta Final:} \] El desplazamiento total del móvil tiene: \[ \text{Magnitud: } |\vec{R}| \approx 163.9\, \text{km},\qquad \text{Dirección: } 38.4^\circ \text{ al Norte del Este.} \]