3. Даны векторы \( \vec{m}(6 ;-8), \vec{n}(2 ;-3), \vec{a}=(x ; 7) \). Найдите: a) косинус угла между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \); b) число \( x \), если векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{a} \) коллинеарны; c) число \( x \), если векторы \( \vec{n} \) и \( \vec{a} \) перпендикулярны.

Для решения задач, давайте сначала вспомним некоторые формулы. 1. Косинус угла между двумя векторами \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) и \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) можно найти по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] где \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\vec{u}|\) и \(|\vec{v}|\) — их длины. 2. Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{a}\) коллинеарны, если существует такое число \(k\), что \(\vec{a} = k \vec{m}\). 3. Векторы \(\vec{n}\) и \(\vec{a}\) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{n} \cdot \vec{a} = 0\). Теперь решим каждую из задач. ### a) Косинус угла между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) Векторы: \[ \vec{m} = (6, -8), \quad \vec{n} = (2, -3) \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-3) = 12 + 24 = 36 \] Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{m}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Теперь подставим в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{36}{10 \cdot \sqrt{13}} = \frac{36}{10\sqrt{13}} = \frac{18}{5\sqrt{13}} \] ### b) Число \(x\), если векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{a}\) коллинеарны Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{a}\) коллинеарны, если: \[ \vec{a} = k \vec{m} \] где \(\vec{a} = (x, 7)\) и \(\vec{m} = (6, -8)\). Это дает систему уравнений: \[ x = 6k \] \[ 7 = -8k \] Решим второе уравнение для \(k\): \[ k = -\frac{7}{8} \] Теперь подставим \(k\) в первое уравнение: \[ x = 6 \left(-\frac{7}{8}\right) = -\frac{42}{8} = -\frac{21}{4} \] ### c) Число \(x\), если векторы \(\vec{n}\) и \(\vec{a}\) перпендикулярны Векторы \(\vec{n}\) и \(\vec{a}\) перпендикулярны, если: \[ \vec{n} \cdot \vec{a} = 0 \] где \(\vec{n} = (2, -3)\) и \(\vec{a} = (x, 7)\). Скалярное произведение: \[ 2x + (-3) \cdot 7 = 0 \] \[ 2x - 21 = 0 \] \[ 2x = 21 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{21}{2} \] ### Ответы: a) \(\cos \theta = \frac{18}{5\sqrt{13}}\) b) \(x = -\frac{21}{4}\) c) \(x = \frac{21}{2}\)