$$ y ^ { \prime \prime } - 6 y ^ { \prime } + 13 y = 0 $$

Question

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$$
\textbf{Paso 1: Plantear la ecuación característica.}
$$

Consideremos la ecuación diferencial:

$$
y'' - 6y' + 13y = 0.
$$

Para resolverla, asumimos que la solución tiene la forma $$ y(x) = e^{rx} $$. Entonces, las derivadas son:

$$
y'(x) = re^{rx}, \quad y''(x) = r^2e^{rx}.
$$

Sustituyendo en la ecuación se obtiene:

$$
r^2e^{rx} - 6re^{rx} + 13e^{rx} = 0.
$$

Dividiendo entre $$ e^{rx} $$ (que nunca es cero), la ecuación característica es:

$$
r^2 - 6r + 13 = 0.
$$

$$
\textbf{Paso 2: Resolver la ecuación característica.}
$$

Utilizamos la fórmula general:

$$
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
$$

donde $$ a = 1 $$, $$ b = -6 $$ y $$ c = 13 $$. Sustituyendo:

$$
r = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2}.
$$

Calculamos el discriminante:

$$
36 - 52 = -16.
$$

Entonces,

$$
r = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i.
$$

$$
\textbf{Paso 3: Escribir la solución general.}
$$

Cuando las raíces son complejas de la forma $$ r = \alpha \pm \beta i $$, la solución general de la ecuación diferencial es:

$$
y(x) = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right),
$$

donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes arbitrarias.

En este caso, $$ \alpha = 3 $$ y $$ \beta = 2 $$. Por lo tanto, la solución general es:

$$
y(x) = e^{3x} \left( C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \right).
$$
La solución general de la ecuación diferencial $$ y'' - 6y' + 13y = 0 $$ es: $$ y(x) = e^{3x} \left( C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \right), $$ donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes arbitrarias.

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