Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace Dada a matriz: $$ \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 3 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 1 & -1 & 1 & -2 \ 4 & -3 & 5 & 1\end{array} ight] $$

Question

Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace Dada a matriz: $$ \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 3 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 1 & -1 & 1 & -2 \ 4 & -3 & 5 & 1\end{array}ight] $$

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Considere a matriz
$$
\mathrm{A}=\begin{bmatrix}
-2 & 3 & 1 & -1 \
0 & 1 & 2 & 3 \
1 & -1 & 1 & -2 \
4 & -3 & 5 & 1
\end{bmatrix}.
$$
Escolhemos expandir pelo método de Laplace utilizando a segunda linha, que possui um elemento nulo. Recorde que a expansão de Laplace na linha $$ i $$ é dada por
$$
\det(A)=\sum_{j=1}^{4} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij},
$$
onde $$ a_{ij} $$ é o elemento da posição $$(i,j)$$ e $$ M_{ij} $$ é o menor complementar obtido removendo-se a linha $$ i $$ e a coluna $$ j $$.

Para a segunda linha ($$ i=2 $$), temos os elementos:
- $$ a_{21}=0 $$
- $$ a_{22}=1 $$
- $$ a_{23}=2 $$
- $$ a_{24}=3 $$

Assim, a expansão fica:
$$
\det(A)=(-1)^{2+1}\cdot0\cdot M_{21} + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot M_{22} + (-1)^{2+3}\cdot2\cdot M_{23} + (-1)^{2+4}\cdot3\cdot M_{24}.
$$
Observando as potências de $$-1$$:
- $$ (-1)^{2+1}=(-1)^3=-1 $$ (mas o termo é nulo pois $$ a_{21}=0 $$)
- $$ (-1)^{2+2}=(-1)^4=1 $$
- $$ (-1)^{2+3}=(-1)^5=-1 $$
- $$ (-1)^{2+4}=(-1)^6=1 $$

Portanto, temos:
$$
\det(A)=1\cdot M_{22} - 2\cdot M_{23} + 3\cdot M_{24}.
$$

Agora, calculamos os menores:

1. $$\mathbf{Cálculo\ de\ } M_{22}$$:

Removendo a segunda linha e a segunda coluna, obtemos a matriz $$ 3 \times 3 $$ formada pelas linhas 1, 3 e 4 e colunas 1, 3 e 4:
$$
M_{22}=\det\begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \
1 & 1 & -2 \
4 & 5 & 1
\end{bmatrix}.
$$
Utilizando a regra de Sarrus ou a expansão padrão, temos:
$$
\begin{aligned}
M_{22} &= -2\left[(1)(1) - (-2)(5)\right] - 1\left[(1)(1) - (-2)(4)\right] + (-1)\left[(1)(5) - (1)(4)\right] \
&= -2\left[1 + 10\right] - 1\left[1+8\right] -1\left[5-4\right] \
&= -2(11) - 9 - 1 \
&= -22 - 9 - 1 \
&= -32.
\end{aligned}
$$

2. $$\mathbf{Cálculo\ de\ } M_{23}$$:

Removendo a segunda linha e a terceira coluna, obtemos a matriz:
$$
M_{23}=\det\begin{bmatrix}
-2 & 3 & -1 \
1 & -1 & -2 \
4 & -3 & 1
\end{bmatrix}.
$$
Procedendo de forma semelhante:
$$
\begin{aligned}
M_{23} &= -2\left[(-1)(1) - (-2)(-3)\right] - 3\left[(1)(1)-(-2)(4)\right] + (-1)\left[(1)(-3)-(-1)(4)\right] \
&= -2\left[-1 -6\right] - 3\left[1+8\right] -1\left[-3+4\right] \
&= -2(-7) - 3(9) - 1(1) \
&= 14 - 27 - 1 \
&= -14.
\end{aligned}
$$

3. $$\mathbf{Cálculo\ de\ } M_{24}$$:

Removendo a segunda linha e a quarta coluna, temos a matriz:
$$
M_{24}=\det\begin{bmatrix}
-2 & 3 & 1 \
1 & -1 & 1 \
4 & -3 & 5
\end{bmatrix}.
$$
Calculando:
$$
\begin{aligned}
M_{24} &= -2\left[(-1)(5) - (1)(-3)\right] - 3\left[(1)(5)-(1)(4)\right] + 1\left[(1)(-3)-(-1)(4)\right] \
&= -2\left[-5+3\right] - 3\left[5-4\right] + 1\left[-3+4\right] \
&= -2(-2) - 3(1) + 1(1) \
&= 4 - 3 + 1 \
&= 2.
\end{aligned}
$$

Substituindo os menores na expansão:
$$
\det(A)=M_{22} - 2\,M_{23} + 3\,M_{24} = (-32) - 2(-14) + 3(2).
$$
Calculando:
$$
\det(A)=-32 + 28 + 6 = 2.
$$

Portanto, o determinante da matriz $$\mathrm{A}$$ é $$2$$.
O determinante da matriz $$ \mathrm{A} $$ é $$ 2 $$.

Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace
Dada a matriz:

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