17. $$ \iint_{D}(2 x-y) d A, D $$ est bornée par le cercle de rayon 2 centré à l'origine.

Question

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Nous cherchons à évaluer
$$
I=\iint_{D}(2x-y)\,dA
$$
où $$D$$ est le disque défini par
$$
D=\{(x,y) \mid x^2+y^2\leq 2^2\}.
$$

1. **Propriété de symétrie :**  
   Le disque $$D$$ est centré à l’origine et est symétrique par rapport aux axes.  
   - La fonction $$x \mapsto x$$ est impaire par rapport à $$x$$ et son intégrale sur tout domaine symétrique par rapport à l’axe $$y$$ est nulle.
   - De même, la fonction $$y \mapsto y$$ est impaire par rapport à $$y$$ et son intégrale sur tout domaine symétrique par rapport à l’axe $$x$$ est nulle.

2. **Décomposition de l’intégrale :**  
   On peut écrire
   $$
   I = 2\iint_{D} x\,dA - \iint_{D} y\,dA.
   $$
   Comme expliqué, chacune de ces intégrales vaut zéro :
   $$
   \iint_{D} x\,dA = 0 \quad \text{et} \quad \iint_{D} y\,dA = 0.
   $$

3. **Conclusion :**  
   En substituant ces résultats, nous avons
   $$
   I = 2\times 0 - 0 = 0.
   $$

La réponse finale est donc $$0$$.
La valeur de l'intégrale $$ \iint_{D}(2x - y)\,dA $$ sur le disque de rayon 2 centré à l'origine est **0**.

est bornée par le cercle de rayon 2
centré à l’origine.

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est bornée par le cercle de rayon 2 centré à l’origine.