Question
19. यदि \( \sin \theta=\frac{1}{2} \), तो सिद्ध कीजिए कि \( 3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta=1 \)
Ask by Barker Bright. in India
Feb 04,2025
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\( 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 1 \)
Solution
हमारे पास दिया गया है कि \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)। हमें यह सिद्ध करना है कि \( 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 1 \)।
चलिए, पहले \( \sin \theta \) के मान को समीकरण में रखते हैं:
1. \( \sin \theta = \frac{1}{2} \) को समीकरण में रखें:
\[
3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 3 \left(\frac{1}{2}\right) - 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3
\]
2. पहले भाग की गणना करें:
\[
3 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}
\]
3. दूसरे भाग की गणना करें:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
\]
\[
4 \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
4. अब दोनों भागों को जोड़ें:
\[
3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}
\]
5. अब, अंतिम गणना करें:
\[
\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1
\]
इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया कि:
\[
3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 1
\]
अतः \( 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 1 \) सत्य है।
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पहले दिए गए समीकरण को देखते हैं, \( \sin \theta = \frac{1}{2} \) के लिए, \( \sin^3 \theta \) की गणना करें: \[ \sin^3 \theta = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \] अब \( 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta \) की गणना करते हैं: \[ 3 \sin \theta = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] अब \( 4 \sin^3 \theta \) की गणना: \[ 4 \sin^3 \theta = 4 \times \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] अब हम इन दो परिणामों को जोड़ते हैं: \[ 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] इस प्रकार, सिद्ध हुआ कि \( 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 1 \) सही है।
