45. A curve passing through point $$ (1,-3) $$ has a gradient of $$ \frac{4(2 x+5)^{3}}{3} $$. Find the equation of the curve.

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1. 给定曲线的斜率为  
   $$
   y'=\frac{4(2x+5)^3}{3}.
   $$

2. 对斜率积分求曲线方程：  
   $$
   y = \int y' \, dx = \int \frac{4(2x+5)^3}{3} \, dx.
   $$

3. 令 $$ u = 2x + 5 $$，则  
   $$
   du = 2\,dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2}.
   $$

4. 将变量替换后，积分变为：  
   $$
   y = \int \frac{4}{3} u^3 \cdot \frac{du}{2} 
   = \frac{4}{6} \int u^3 \, du 
   = \frac{2}{3} \int u^3 \, du.
   $$

5. 计算不定积分：  
   $$
   \frac{2}{3} \int u^3 \, du 
   = \frac{2}{3} \cdot \frac{u^4}{4} 
   = \frac{u^4}{6} + C,
   $$
   其中 $$ C $$ 为常数。

6. 将 $$ u $$ 替换回原变量 $$ x $$：  
   $$
   y = \frac{(2x+5)^4}{6} + C.
   $$

7. 利用给定的经过点 $$ (1, -3) $$ 求 $$ C $$：  
   当 $$ x = 1 $$ 时，$$ y = -3 $$：  
   $$
   -3 = \frac{(2\cdot1+5)^4}{6} + C.
   $$
   计算 $$ 2\cdot1+5 = 7 $$ 且 $$ 7^4 = 2401 $$：  
   $$
   -3 = \frac{2401}{6} + C \quad \Rightarrow \quad C = -3 - \frac{2401}{6}.
   $$
   将 -3 化为同分母的分数：  
   $$
   C = -\frac{18}{6} - \frac{2401}{6} = -\frac{2419}{6}.
   $$

8. 因此，曲线的方程为：  
   $$
   y = \frac{(2x+5)^4}{6} - \frac{2419}{6}.
   $$
曲线的方程为 $$ y = \frac{(2x+5)^4}{6} - \frac{2419}{6} $$。

45. A curve passing through point \( (1,-3) \) has a gradient of \( \frac{4(2 x+5)^{3}}{3} \). Find the equation of the curve.

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