Ejercicios 4.1 Búsqueda de antiderivadas En los ejercicios \( 1-18 \), halla una antiderivada para cada función. Haz mentalmentecuantas puedas. Confirma tus respuestas diferenciandolas. \( \begin{array}{llll}\text { 1. a) } 2 x & \text { b) } x^{2} & \text { c) } x^{2}-2 x+1 & \text { 15, a) } \\ \text { 2. a) } 6 x & \text { b) } x^{4} & \text { c) } x^{7}-6 x+8 & \text { 16. a) } \\ \text { 3. a) }-3 x^{-4} & \text { b) } x^{-4} & \text { c) } x^{-4}+2 x+3 & \text { 17. (se } \\ \text { 4. a) } 2 x^{-3} & \text { b) } \frac{x^{-3}}{2}+x^{2} & \text { c) }-x^{-3}+x-1 & \end{array} \)

Para encontrar una antiderivada de cada función, utilizaremos la regla básica de integración. Recordemos que la antiderivada de \( x^n \) es \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), donde \( C \) es la constante de integración. Vamos a resolver cada uno de los ejercicios paso a paso. ### Ejercicio 1 #### a) \( 2x \) La antiderivada se calcula como: \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} + C = x^{2} + C \] #### b) \( x^{2} \) La antiderivada es: \[ \int x^{2} \, dx = \frac{x^{3}}{3} + C \] #### c) \( x^{2} - 2x + 1 \) La antiderivada se calcula como: \[ \int (x^{2} - 2x + 1) \, dx = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + C \] ### Ejercicio 2 #### a) \( 6x \) La antiderivada es: \[ \int 6x \, dx = 6 \cdot \frac{x^{2}}{2} + C = 3x^{2} + C \] #### b) \( x^{4} \) La antiderivada es: \[ \int x^{4} \, dx = \frac{x^{5}}{5} + C \] #### c) \( x^{7} - 6x + 8 \) La antiderivada se calcula como: \[ \int (x^{7} - 6x + 8) \, dx = \frac{x^{8}}{8} - 3x^{2} + 8x + C \] ### Ejercicio 3 #### a) \( -3x^{-4} \) La antiderivada es: \[ \int -3x^{-4} \, dx = -3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = x^{-3} + C \] #### b) \( x^{-4} \) La antiderivada es: \[ \int x^{-4} \, dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3}x^{-3} + C \] #### c) \( x^{-4} + 2x + 3 \) La antiderivada se calcula como: \[ \int (x^{-4} + 2x + 3) \, dx = -\frac{1}{3}x^{-3} + x^{2} + 3x + C \] ### Ejercicio 4 #### a) \( 2x^{-3} \) La antiderivada es: \[ \int 2x^{-3} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -x^{-2} + C \] #### b) \( \frac{x^{-3}}{2} + x^{2} \) La antiderivada se calcula como: \[ \int \left(\frac{x^{-3}}{2} + x^{2}\right) \, dx = \frac{x^{-2}}{-4} + \frac{x^{3}}{3} + C \] #### c) \( -x^{-3} + x - 1 \) La antiderivada es: \[ \int (-x^{-3} + x - 1) \, dx = \frac{x^{-2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} - x + C \] ### Confirmación Para confirmar nuestras respuestas, podemos derivar cada antiderivada y verificar que obtenemos la función original. Si necesitas que realice alguna verificación específica, házmelo saber.