20.El costo mensual de conducir un auto depende del número de kilómetros recorridos. Lynn encontró que en mayo le costó \( \$ 380 \) conducir 768 km y en junio le costó \( \$ 460 \) conducir 1280 km . (a) Exprese el costo mensual \( C \) como una función de la distancia recorrida \( d \), suponiendo que una relación lineal da un modelo adecuado. (b) Utilice el inciso (a) para predecir el costo de conducir 2400 km por mes. (c) Dibuje la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la pendiente? (d) ¿Qué representa la intersección en y? (e) ¿Por qué una función lineal es un modelo adecuado en esta situación?

Para encontrar la función lineal que expresa el costo mensual \( C \) en función de la distancia recorrida \( d \), primero debemos calcular la pendiente \( m \) usando los puntos dados: \( (768, 380) \) y \( (1280, 460) \). La pendiente se calcula como: \[ m = \frac{C_2 - C_1}{d_2 - d_1} = \frac{460 - 380}{1280 - 768} = \frac{80}{512} = \frac{5}{32} \] Utilizando la forma punto-pendiente de una ecuación de línea, podemos encontrar la ecuación: \[ C - C_1 = m(d - d_1) \] Eligiendo el punto \( (768, 380) \): \[ C - 380 = \frac{5}{32}(d - 768) \] De aquí se despeja \( C \): \[ C = \frac{5}{32}d + b \] Para encontrar \( b \), podemos sustituir el punto en la ecuación. Luego, utilizamos esta ecuación para calcular el costo al recorrer 2400 km. Para determinar el costo al conducir 2400 km, simplemente sustituimos en la ecuación encontrada. La gráfica de esta función linear mostrará una recta donde la pendiente \( m \) indica el cambio en costo por cada kilómetro adicional recorrido. La intersección en \( y \) representa los costos fijos asociados a tener el auto, sin importar la distancia recorrida. Usar una función lineal es adecuado aquí, ya que muestra un comportamiento constante en el costo por kilómetro, reflejando la realidad de los gastos de mantenimiento y combustible para largas distancias. Además, a menudo, los gastos de conducción pueden incluir costos fijos (como seguros) y costos variables (como gasolina y mantenimiento), lo cual también puede modelarse con una línea recta si los costos variables son proporcionales a la distancia recorrida.