Uno de los ángulos formados por dos rectas paralelas corta- das por una secante tiene $$ 43^{\circ} $$, ¿cuánto miden los demás? En las paralelas cortadas por la secante, si $$ \angle $$ a es la mitad de $$ \angle \mathrm{d} $$, calcula el valor de los ocho ángulos formados. ¿Es posible que el $$ \angle \mathrm{c} $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad del $$ \angle f $$ ? ¿Por qué? ¿son paralelas las rectas MN y PQ? ¿Por qué?

Question

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Para resolver el problema, primero identificamos los ángulos formados por las dos rectas paralelas cortadas por una secante. Denotemos los ángulos como sigue:

- $$ \angle a $$
- $$ \angle b $$
- $$ \angle c $$
- $$ \angle d $$
- $$ \angle e $$
- $$ \angle f $$
- $$ \angle g $$
- $$ \angle h $$

Dado que $$ \angle a = 43^{\circ} $$, podemos usar las propiedades de los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante:

1. **Ángulos alternos internos**: $$ \angle a = \angle c $$ y $$ \angle b = \angle d $$.
2. **Ángulos correspondientes**: $$ \angle a = \angle e $$ y $$ \angle b = \angle f $$.
3. **Ángulos internos en la misma transversal**: $$ \angle a + \angle b = 180^{\circ} $$.

### Paso 1: Calcular los ángulos

Sabemos que $$ \angle a = 43^{\circ} $$. Por lo tanto, podemos calcular los demás ángulos:

- $$ \angle c = \angle a = 43^{\circ} $$
- $$ \angle e = \angle a = 43^{\circ} $$
- $$ \angle b = 180^{\circ} - \angle a = 180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ} $$
- $$ \angle d = \angle b = 137^{\circ} $$
- $$ \angle f = \angle b = 137^{\circ} $$
- $$ \angle g = 180^{\circ} - \angle e = 180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ} $$
- $$ \angle h = 180^{\circ} - \angle f = 180^{\circ} - 137^{\circ} = 43^{\circ} $$

### Resumen de los ángulos

- $$ \angle a = 43^{\circ} $$
- $$ \angle b = 137^{\circ} $$
- $$ \angle c = 43^{\circ} $$
- $$ \angle d = 137^{\circ} $$
- $$ \angle e = 43^{\circ} $$
- $$ \angle f = 137^{\circ} $$
- $$ \angle g = 137^{\circ} $$
- $$ \angle h = 43^{\circ} $$

### Paso 2: Verificar la condición de $$ \angle c $$ y $$ \angle f $$

Ahora, se nos pregunta si es posible que $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad de $$ \angle f $$.

Si $$ \angle c = 61^{\circ} $$, entonces:

$$
\angle f = 2 \cdot \angle c = 2 \cdot 61^{\circ} = 122^{\circ}
$$

Sin embargo, ya hemos determinado que $$ \angle f = 137^{\circ} $$. Por lo tanto, no es posible que $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad de $$ \angle f $$.

### Paso 3: Determinar si las rectas son paralelas

Las rectas $$ MN $$ y $$ PQ $$ son paralelas si los ángulos alternos internos son iguales o si los ángulos correspondientes son iguales. Dado que hemos encontrado que $$ \angle a = \angle c $$ y $$ \angle b = \angle d $$, podemos concluir que las rectas son paralelas.

### Conclusión

1. Los ángulos formados son:
   - $$ \angle a = 43^{\circ} $$
   - $$ \angle b = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle c = 43^{\circ} $$
   - $$ \angle d = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle e = 43^{\circ} $$
   - $$ \angle f = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle g = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle h = 43^{\circ} $$

2. No es posible que $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad de $$ \angle f $$.

3. Las rectas $$ MN $$ y $$ PQ $$ son paralelas porque los ángulos alternos internos son iguales.
Los ángulos son: - $$ \angle a = 43^{\circ} $$ - $$ \angle b = 137^{\circ} $$ - $$ \angle c = 43^{\circ} $$ - $$ \angle d = 137^{\circ} $$ - $$ \angle e = 43^{\circ} $$ - $$ \angle f = 137^{\circ} $$ - $$ \angle g = 137^{\circ} $$ - $$ \angle h = 43^{\circ} $$ No es posible que $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad de $$ \angle f $$ porque $$ \angle f $$ es $$ 137^{\circ} $$, no $$ 122^{\circ} $$. Las rectas $$ MN $$ y $$ PQ $$ son paralelas porque los ángulos alternos internos son iguales.

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