Halla el punto de corte entre las rectas y determi- na el ángulo que forman. Luego, graficalas. a. $$ l_{1}: 3 y=4 x+10 ; l_{2}: 4 y+5 x=4 $$

Question

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1. **Obtener las ecuaciones en forma $$ y = mx + b $$:**

- Para $$ l_{1}: 3y = 4x + 10 $$, se despeja $$ y $$:
     $$
     y = \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}
     $$
     
   - Para $$ l_{2}: 4y + 5x = 4 $$, se despeja $$ y $$:
     $$
     4y = 4 - 5x \quad \Longrightarrow \quad y = 1 - \frac{5}{4}x
     $$

2. **Determinar el punto de intersección:**

Igualamos las dos expresiones de $$ y $$:
   $$
   \frac{4}{3}x + \frac{10}{3} = 1 - \frac{5}{4}x
   $$
   
   Multiplicamos ambos lados por 12 (mínimo común múltiplo de 3 y 4) para eliminar fracciones:
   $$
   12\left(\frac{4}{3}x + \frac{10}{3}\right) = 12\left(1 - \frac{5}{4}x\right)
   $$
   $$
   16x + 40 = 12 - 15x
   $$
   
   Sumamos $$15x$$ a ambos lados y restamos $$40$$:
   $$
   16x + 15x = 12 - 40 \quad \Longrightarrow \quad 31x = -28
   $$
   $$
   x = -\frac{28}{31}
   $$
   
   Sustituimos $$ x $$ en la ecuación de $$ l_{2} $$:
   $$
   y = 1 - \frac{5}{4}\left(-\frac{28}{31}\right) = 1 + \frac{5 \times 28}{4 \times 31}
   $$
   $$
   y = 1 + \frac{140}{124} = 1 + \frac{35}{31}
   $$
   $$
   y = \frac{31}{31} + \frac{35}{31} = \frac{66}{31}
   $$
   
   Por lo tanto, el punto de intersección es:
   $$
   \left(-\frac{28}{31},\frac{66}{31}\right)
   $$

3. **Determinar el ángulo entre las rectas:**

Las pendientes de las rectas son:
   $$
   m_1 = \frac{4}{3} \quad \text{y} \quad m_2 = -\frac{5}{4}
   $$
   
   La fórmula para el ángulo $$\theta$$ entre dos rectas es:
   $$
   \tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|
   $$
   
   Sustituimos los valores:
   $$
   \tan \theta = \left|\frac{\frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{4}\right)}{1 + \frac{4}{3}\left(-\frac{5}{4}\right)}\right| = \left|\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{4}}{1 - \frac{5}{3}}\right|
   $$
   
   Calculamos el numerador:
   $$
   \frac{4}{3} + \frac{5}{4} = \frac{16}{12} + \frac{15}{12} = \frac{31}{12}
   $$
   
   Calculamos el denominador:
   $$
   1 - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3}
   $$
   
   Entonces:
   $$
   \tan \theta = \left|\frac{\frac{31}{12}}{-\frac{2}{3}}\right| = \left|\frac{31}{12} \times \frac{3}{2}\right| = \frac{93}{24} = \frac{31}{8}
   $$
   
   Finalmente, el ángulo entre las rectas es:
   $$
   \theta = \arctan\left(\frac{31}{8}\right)
   $$
   
   Aproximadamente:
   $$
   \theta \approx 75.5^\circ
   $$

4. **Gráfica de las rectas:**

Para graficar las rectas se pueden seguir los pasos:
   
   - Se grafica $$ l_{1}: y = \frac{4}{3}x + \frac{10}{3} $$ utilizando su pendiente $$ m_1 = \frac{4}{3} $$ y su intersección con el eje $$ y $$ en $$ \left(0, \frac{10}{3}\right) $$.
   - Se grafica $$ l_{2}: y = 1 - \frac{5}{4}x $$ utilizando su pendiente $$ m_2 = -\frac{5}{4} $$ y su intersección con el eje $$ y $$ en $$ (0, 1) $$.
   - Se marca el punto de intersección $$ \left(-\frac{28}{31},\frac{66}{31}\right) $$ en la gráfica.
   - Se verifica que la medida del ángulo entre las rectas es aproximadamente $$ 75.5^\circ $$ utilizando la fórmula del ángulo entre dos líneas.

Con esto se ha resuelto el problema.
El punto de intersección de las rectas $$ l_{1} $$ y $$ l_{2} $$ es $$ \left(-\frac{28}{31}, \frac{66}{31}\right) $$. El ángulo que forman estas rectas es aproximadamente $$ 75.5^\circ $$.

Halla el punto de corte entre las rectas y determi- na el ángulo que forman. Luego, graficalas. a. \( l_{1}: 3 y=4 x+10 ; l_{2}: 4 y+5 x=4 \)

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