Pregunta
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Halla el punto de corte entre las rectas y determi- na el ángulo que forman. Luego, graficalas. a. \( l_{1}: 3 y=4 x+10 ; l_{2}: 4 y+5 x=4 \)

Ask by Burgess Munoz. in Colombia
Mar 12,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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El punto de intersección de las rectas \( l_{1} \) y \( l_{2} \) es \( \left(-\frac{28}{31}, \frac{66}{31}\right) \). El ángulo que forman estas rectas es aproximadamente \( 75.5^\circ \).

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Para encontrar el punto de corte entre las rectas \( l_{1} \) y \( l_{2} \), primero las reescribimos en la forma pendiente-intersección \( y = mx + b \). De \( l_{1}: 3y = 4x + 10 \) se obtiene \( y = \frac{4}{3}x + \frac{10}{3} \). Para \( l_{2}: 4y + 5x = 4 \), al despejar \( y \) tenemos \( y = -\frac{5}{4}x + 1 \). Igualando las dos ecuaciones de \( y \): \[ \frac{4}{3}x + \frac{10}{3} = -\frac{5}{4}x + 1 \] Multiplicamos todo por 12 para eliminar fracciones: \[ 16x + 40 = -15x + 12 \] Resolviendo, tenemos \( 31x = -28 \) lo que implica \( x = -\frac{28}{31} \). Sustituyendo \( x \) en la ecuación de \( l_{1} \) para obtener \( y \): \[ y = \frac{4}{3}\left(-\frac{28}{31}\right) + \frac{10}{3} = \frac{-112}{93} + \frac{310}{93} = \frac{198}{93} = \frac{66}{31}. \] El punto de corte es \( \left(-\frac{28}{31}, \frac{66}{31}\right) \). Para hallar el ángulo entre las rectas, usamos las pendientes \( m_1 = \frac{4}{3} \) y \( m_2 = -\frac{5}{4} \) con la fórmula: \[ \tan(\theta) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right| = \left|\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{4}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4}}\right| \] Calculando, obtenemos \( \theta \approx 69.74^\circ \). Ahora, para graficar, dibuja las rectas a partir de sus ecuaciones en un plano cartesiano. ¡Asegúrate de marcar el punto de intersección que calculaste y disfruta viendo cómo se cruzan esas líneas!

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