Encontrar la integral \( \int \cos ^{7} x d x \)

Para resolver la integral \( \int \cos^{7} x \, dx \), podemos usar la identidad de reducción. La idea es separar un coseno en términos de seno: \[ \int \cos^{7} x \, dx = \int \cos^{6} x \cos x \, dx \] Luego, aplicamos la identidad \( \cos^{6} x = (1 - \sin^{2} x)^{3} \), y esto nos permite reescribir la integral en términos de \( \sin x \). Ahora, usando la sustitución \( u = \sin x \), \( du = \cos x \, dx \): \[ \int (1 - u^{2})^{3} \, du \] Desarrollamos el polinomio y luego integramos término a término. Finalmente, volvemos a hacer la sustitución inversa para obtener la integral en términos de \( x \). --- Además, es interesante notar que el método de reducción es útil no solo para potencias de coseno, sino también para potencias de seno y funciones trigonométricas en general. Practicar estas integrales ayuda a fortalecer la comprensión de las identidades trigonométricas y sus aplicaciones. Por otro lado, una de las equivocaciones comunes al integrar potencias de funciones trigonométricas es olvidar que también se deben ajustar los límites cuando se utiliza la sustitución. Asegúrate de tener en cuenta el cambio de variable para evitar errores en la integral definida. ¡Diviértete integrando!