27. Un arquitecto tiene que diseñar una ampliación de una casa. Esta consiste en una pieza extra además de un baño. Los requisitos son que el largo de la pieza mida tres metros más que el ancho y el largo del baño debe tener el mismo ancho que la pieza y su ancho debe medir la mitad de su largo. Si la superficie que se va a utilizar es de 36 metros cuadrados, żcuál será el largo de la habitación? A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 7 m E) 9 m

Question

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Para resolver este problema, primero necesitamos establecer las ecuaciones que relacionan las dimensiones de la pieza y el baño.

Sea $$ x $$ el ancho de la pieza y $$ y $$ el largo de la pieza. Según los requisitos dados:

1. El largo de la pieza mide tres metros más que el ancho:
   $$ y = x + 3 $$

2. El largo del baño tiene el mismo ancho que la pieza y su ancho es la mitad de su largo:
   $$ 	ext{Largo del baño} = x $$
   $$ 	ext{Ancho del baño} = \frac{1}{2} 	imes 	ext{Largo del baño} = \frac{1}{2}x $$

3. La superficie total que se va a utilizar es de 36 metros cuadrados:
   $$ 	ext{Superficie total} = 	ext{Superficie de la pieza} + 	ext{Superficie del baño} $$
   $$ 36 = x 	imes (x + 3) + x 	imes \frac{1}{2}x $$

Ahora, podemos resolver esta ecuación para encontrar el valor de $$ x $$, que representa el ancho de la pieza. Una vez que tengamos el ancho, podemos encontrar el largo de la habitación usando la ecuación $$ y = x + 3 $$.
Solve the quadratic equation by following steps:
- step0: Solve by factoring:
  $$36=x\left(x+3ight)+x	imes \frac{1}{2}x$$
- step1: Multiply:
  $$36=x\left(x+3ight)+\frac{1}{2}x^{2}$$
- step2: Swap the sides:
  $$x\left(x+3ight)+\frac{1}{2}x^{2}=36$$
- step3: Expand the expression:
  $$\frac{3}{2}x^{2}+3x=36$$
- step4: Move the expression to the left side:
  $$\frac{3}{2}x^{2}+3x-36=0$$
- step5: Factor the expression:
  $$\frac{3}{2}\left(x-4ight)\left(x+6ight)=0$$
- step6: Divide the terms:
  $$\left(x-4ight)\left(x+6ight)=0$$
- step7: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&x-4=0\&x+6=0\end{align}$$
- step8: Solve the equation:
  $$\begin{align}&x=4\&x=-6\end{align}$$
- step9: Rewrite:
  $$x_{1}=-6,x_{2}=4$$
La solución de la ecuación es $$ x = -6 $$ o $$ x = 4 $$. Dado que el ancho de la pieza no puede ser negativo, el ancho de la pieza es $$ x = 4 $$ metros.

Ahora, podemos encontrar el largo de la habitación usando la ecuación $$ y = x + 3 $$:
$$ y = 4 + 3 = 7 $$ metros.

Por lo tanto, el largo de la habitación es de 7 metros. La respuesta correcta es la opción D) 7 m.
El largo de la habitación es 7 metros.

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