\( f ( x ) = \operatorname { Ln } \sqrt { \frac { 1 + \sin ( e ^ { x } ) } { \cos ( e ^ { x } ) } } + \frac { \sin ( e ^ { x } ) } { 2 \cos ^ { 2 } ( e ^ { x } ) } \)

A continuación se muestra una forma de reescribir y analizar la función:   f(x) = Ln√((1 + sin(eˣ))⁄(cos(eˣ))) + [sin(eˣ)]⁄[2·cos²(eˣ)] 1. Primero, recordemos que la función logaritmo natural aplicada a una raíz se puede simplificar usando la propiedad   Ln(√A) = (1/2)·Ln(A). Por lo tanto, podemos escribir   f(x) = (1/2)·Ln[(1 + sin(eˣ))⁄(cos(eˣ))] + [sin(eˣ)]⁄[2·cos²(eˣ)]. 2. Observa que el segundo término se puede reexpresar en términos de las funciones tangente y secante. En efecto,   sin(eˣ)⁄cos²(eˣ) = [sin(eˣ)⁄cos(eˣ)] · [1⁄cos(eˣ)] = tan(eˣ) · sec(eˣ). Así, se tiene   f(x) = (1/2)·Ln[(1 + sin(eˣ))⁄(cos(eˣ))] + (1/2)·tan(eˣ)·sec(eˣ). 3. Esta expresión es equivalente a la original; en muchos casos se utiliza la forma anterior porque agrupar el factor 1/2 facilita la lectura y el análisis. 4. Adicionalmente, es importante notar que para que la función f(x) esté definida se deben cumplir dos condiciones derivadas de las expresiones involucradas:  a) El argumento del logaritmo debe ser positivo, es decir,   (1 + sin(eˣ))⁄(cos(eˣ)) > 0.  b) También debe cumplirse que cos(eˣ) ≠ 0, ya que aparece en el denominador. Resumen final:  La función puede escribirse de la forma   f(x) = (1/2)·Ln[(1 + sin(eˣ))⁄(cos(eˣ))] + (1/2)·tan(eˣ)·sec(eˣ), lo cual es una forma equivalente y a menudo más conveniente para ciertos análisis. Si necesitas realizar algún cálculo adicional (por ejemplo, derivar f(x) o analizar su dominio), no dudes en indicarlo.