Dada la fórmula recursiva \( b_n = 2b_{n-1} - 4 \) y \( b_1 = 5 \), encuentra su fórmula explícita.

Para encontrar la fórmula explícita de la sucesión dada, comenzamos resolviendo la ecuación recursiva. La fórmula recursiva es \( b_n = 2b_{n-1} - 4 \) y se nos da que \( b_1 = 5 \). Primero, calculamos algunos términos de la sucesión: - \( b_1 = 5 \) - \( b_2 = 2 \cdot 5 - 4 = 6 \) - \( b_3 = 2 \cdot 6 - 4 = 8 \) - \( b_4 = 2 \cdot 8 - 4 = 12 \) - \( b_5 = 2 \cdot 12 - 4 = 20 \) Observamos que esta es una sucesión lineal. Con el tiempo, podemos deducir que la forma explícita puede tener la forma \( b_n = An + B \). Para hallar los valores de \( A \) y \( B \), usamos la relación recursiva para obtener \( A \) y después \( B \). Al comparar: \[ b_n = 2b_{n-1} - 4 \] sustituyendo \( b_n = An + B \) y \( b_{n-1} = A(n-1) + B \): \[ An + B = 2[A(n-1) + B] - 4 \] Lo que nos da: \[ An + B = 2An - 2A + 2B - 4 \] Igualamos términos: - Para los coeficientes de \( n \): \( A = 2A \) implica que \( A = 2 \). - Para las constantes: \( B = -2A + 2B - 4 \) nos lleva a \( B = 4 \). Así que, al combinar, tenemos \( b_n = 2n + 1 \). Finalmente, la fórmula explícita es \( b_n = 2n + 1 \).