25. Sous le plan $$ 2 x+y+z=4 $$ et au-dessus du disque $$ x^{2}+y^{2} \leq 1 $$

Question

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Nous cherchons à calculer le volume du solide défini par :

- La surface supérieure donnée par le plan
  $$
  2x+y+z=4,
  $$
  c’est-à-dire
  $$
  z=4-2x-y,
  $$
- La projection verticale sur le plan $$xy$$ est le disque
  $$
  x^2+y^2\leq 1.
  $$

Le volume $$V$$ s’exprime donc par
$$
V=\iint_{D}\Bigl(4-2x-y\Bigr)dA,
$$
où $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1\}$$.

Pour effectuer le calcul, nous utilisons la coordonnée polaire. On a :
$$
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
$$
avec $$0\leq r\leq1$$ et $$0\leq\theta\leq 2\pi$$.

Ainsi, l’intégrale devient
$$
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\Bigl(4-2r\cos\theta-r\sin\theta\Bigr)r\,dr\,d\theta.
$$

Nous commençons par effectuer l’intégration par rapport à $$r$$ :
$$
\int_{0}^{1}\Bigl(4-2r\cos\theta-r\sin\theta\Bigr)r\,dr = \int_{0}^{1}\left(4r-2r^2\cos\theta -r^2\sin\theta\right)dr.
$$
Calculons terme à terme :
- $$\displaystyle \int_{0}^{1}4r\,dr=4\cdot\frac{1}{2}=2,$$
- $$\displaystyle \int_{0}^{1}2r^2\cos\theta\,dr=2\cos\theta\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\cos\theta,$$
- $$\displaystyle \int_{0}^{1}r^2\sin\theta\,dr=\sin\theta\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\sin\theta.$$

Donc,
$$
\int_{0}^{1}\Bigl(4r-2r^2\cos\theta -r^2\sin\theta\Bigr)dr = 2-\frac{2}{3}\cos\theta-\frac{1}{3}\sin\theta.
$$

L’intégrale totale devient alors :
$$
V=\int_{0}^{2\pi}\left(2-\frac{2}{3}\cos\theta-\frac{1}{3}\sin\theta\right)d\theta.
$$

Nous séparons en trois intégrales :
$$
V=2\int_{0}^{2\pi}d\theta - \frac{2}{3}\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta - \frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
$$

On connaît les intégrales classiques :
- $$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi,$$
- $$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,$$
- $$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.$$

Par conséquent,
$$
V=2\cdot(2\pi)=4\pi.
$$

La valeur du volume est donc
$$
\boxed{4\pi}.
$$
Le volume du solide est $$4\pi$$.

25. Sous le plan \( 2 x+y+z=4 \) et au-dessus du disque \( x^{2}+y^{2} \leq 1 \)

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