15. Calcula el error relativo y porcentual que se comete al medir el volumen y la superficie de una esfera, si su ra- dio mide 12 cm y el error máximo que se cometió al medirlo es de 0.015 cm .

Sea una esfera de radio \( r = 12 \) cm, y se tiene un error máximo en la medida del radio de \[ \delta r = 0.015 \text{ cm}. \] Para estimar el error en funciones del radio, podemos usar la aproximación lineal (diferencial) que relaciona el error en la función con el error en el radio. --- ### 1. Error en el Volumen El volumen de una esfera está dado por \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3. \] La derivada del volumen respecto a \( r \) es \[ \frac{dV}{dr} = 4\pi r^2. \] Utilizando la aproximación diferencial para el error absoluto en el volumen, tenemos: \[ \delta V \approx \frac{dV}{dr}\,\delta r = 4\pi r^2\,\delta r. \] El error relativo en el volumen es: \[ \frac{\delta V}{V} \approx \frac{4\pi r^2\,\delta r}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{3\,\delta r}{r}. \] Sustituyendo los valores: \[ \frac{\delta V}{V} \approx \frac{3 \times 0.015}{12} = \frac{0.045}{12} = 0.00375. \] El error porcentual es: \[ 0.00375 \times 100\% = 0.375\%. \] --- ### 2. Error en la Superficie La superficie de una esfera está dada por \[ S = 4\pi r^2. \] La derivada de la superficie respecto a \( r \) es \[ \frac{dS}{dr} = 8\pi r. \] El error absoluto en la superficie se estima como: \[ \delta S \approx \frac{dS}{dr}\,\delta r = 8\pi r\,\delta r. \] El error relativo en la superficie es: \[ \frac{\delta S}{S} \approx \frac{8\pi r\,\delta r}{4\pi r^2} = \frac{2\,\delta r}{r}. \] Sustituyendo los valores: \[ \frac{\delta S}{S} \approx \frac{2 \times 0.015}{12} = \frac{0.03}{12} = 0.0025. \] El error porcentual es: \[ 0.0025 \times 100\% = 0.25\%. \] --- ### Resumen de Resultados - **Error relativo en el volumen:** \( 0.00375 \) - **Error porcentual en el volumen:** \( 0.375\% \) - **Error relativo en la superficie:** \( 0.0025 \) - **Error porcentual en la superficie:** \( 0.25\% \)