Resolve, em $$ \mathbb{R} $$, as seguintes inequações. a) $$ x^{2}-8 x+15 \leq 0 $$ b) $$ 3 x-x^{2}0 $$ g) $$ x^{2} \leq 2 x-1 $$ h) $$ -x(x-1)

Question

Resolve, em $$ \mathbb{R} $$, as seguintes inequações. a) $$ x^{2}-8 x+15 \leq 0 $$ b) $$ 3 x-x^{2}<0 $$ c) $$ x^{2}-5 x<14 $$ d) $$ x^{2} \geq 5 $$ e) $$ 2 x^{2}+3 x+4>0 $$ f) $$ -2 x^{2}-3 x-4>0 $$ g) $$ x^{2} \leq 2 x-1 $$ h) $$ -x(x-1)<\frac{1}{4} $$ i) $$ 2(x-1)(x+2)-3<-x^{2}+x $$

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**a)** Começamos resolvendo a inequação $$ x^2 - 8x + 15 \le 0. $$ Fatorando o polinômio, temos $$ x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5). $$ A inequação passa a ser $$ (x-3)(x-5) \le 0. $$ Como o coeficiente de $$x^2$$ é positivo, o produto é negativo ou nulo quando $$x$$ está entre as raízes. Assim, a solução é $$ x \in [3,5]. $$ --- **b)** Temos a inequação $$ 3x - x^2 < 0. $$ Fatoramos: $$ 3x - x^2 = -x^2 + 3x = -x(x-3). $$ Multiplicando ambos os lados por $$-1$$ (lembrando de inverter o sinal da inequação), obtemos $$ x(x-3) > 0. $$ O produto $$x(x-3)$$ é positivo quando ambos os fatores são positivos ou ambos negativos, ou seja: - $$x > 0$$ e $$x-3>0$$ $$\Rightarrow x>3$$; - $$x < 0$$ e $$x-3<0$$ $$\Rightarrow x<0$$. Portanto, a solução é $$ x \in (-\infty,0) \cup (3,\infty). $$ --- **c)** Inicialmente, escrevemos: $$ x^2 - 5x < 14. $$ Subtraindo 14 de ambos os lados: $$ x^2 - 5x - 14 < 0. $$ Resolvendo a equação $$x^2 - 5x - 14 = 0$$, calculamos o discriminante: $$ \Delta = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-14) = 25 + 56 = 81. $$ Logo, as raízes são $$ x = \frac{5 \pm 9}{2}, $$ isto é, $$ x = -2 \quad \text{ou} \quad x = 7. $$ Como $$a=1>0$$, a inequação é satisfeita para $$x$$ entre as raízes. Assim, obtemos $$ x \in (-2,7). $$ --- **d)** Consideramos a inequação $$ x^2 \ge 5. $$ Reescrevendo como $$ x^2 - 5 \ge 0, $$ podemos fatorar (utilizando raízes reais) como $$ (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}) \ge 0. $$ O produto é não negativo quando $$x \le -\sqrt{5}$$ ou $$x \ge \sqrt{5}$$. Portanto, a solução é $$ x \in (-\infty,-\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5},\infty). $$ --- **e)** Analisamos $$ 2x^2 + 3x + 4 > 0. $$ Calculando o discriminante: $$ \Delta = 3^2 - 4\cdot2\cdot4 = 9 - 32 = -23. $$ Como $$\Delta < 0$$ e o coeficiente de $$x^2$$ é positivo, a função é sempre positiva. Assim, a inequação é satisfeita para todo $$x \in \mathbb{R}$$. --- **f)** Temos $$ -2x^2 - 3x - 4 > 0. $$ Multiplicando a inequação por $$-1$$ (invertemos o sinal da inequação): $$ 2x^2 + 3x + 4 < 0. $$ No item anterior verificamos que $$2x^2 + 3x + 4 > 0$$ para todo $$x$$. Portanto, não existem $$x$$ que satisfaçam $$ -2x^2 - 3x - 4 > 0. $$ --- **g)** Resolvendo $$ x^2 \le 2x - 1, $$ primeiro levamos todos os termos para um lado: $$ x^2 - 2x + 1 \le 0. $$ Note que $$ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2. $$ Logo, a inequação se torna $$ (x-1)^2 \le 0. $$ Como o quadrado de um número é sempre não negativo, a única possibilidade para ser igual a zero é quando $$ x-1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. $$ Portanto, a solução é $$ \{1\}. $$ --- **h)** Analisamos $$ -x(x-1) < \frac{1}{4}. $$ Primeiro, expandimos o lado esquerdo: $$ -x(x-1) = -x^2 + x. $$ A inequação torna-se $$ -x^2 + x < \frac{1}{4}. $$ Trazendo todos os termos para um lado: $$ -x^2 + x - \frac{1}{4} < 0. $$ Multiplicamos por $$-1$$ (invertendo o sinal da inequação): $$ x^2 - x + \frac{1}{4} > 0. $$ Observamos que $$ x^2 - x + \frac{1}{4} = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2. $$ Temos então $$ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 > 0. $$ Essa inequação é satisfeita para todo $$x$$ exceto quando $$ x-\frac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}. $$ Portanto, a solução é $$ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}. $$ --- **i)** A inequação é $$ 2(x-1)(x+2) - 3 < -x^2 + x. $$ Primeiro, expandimos o lado esquerdo: $$ 2(x-1)(x+2) = 2(x^2 + x - 2) = 2x^2 + 2x - 4. $$ Subtraindo 3, obtemos: $$ 2x^2 + 2x - 4 - 3 = 2x^2 + 2x - 7. $$ Assim, a inequação torna-se $$ 2x^2 + 2x - 7 < -x^2 + x. $$ Trazendo todos os termos para o lado esquerdo: $$ 2x^2 + 2x - 7 + x^2 - x < 0, $$ o que simplifica para $$ 3x^2 + x - 7 < 0. $$ Para resolver a inequação $$3x^2 + x - 7 < 0$$, encontramos as raízes da equação $$ 3x^2 + x - 7 = 0. $$ Calculamos o discriminante: $$ \Delta = 1^2 - 4\cdot3\cdot(-7) = 1 + 84 = 85. $$ As raízes são $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{85}}{6}. $$ Como o coeficiente de $$x^2$$ é positivo, a inequação é satisfeita para $$x$$ entre as raízes. Assim, a solução é $$ x \in \left(\frac{-1-\sqrt{85}}{6},\, \frac{-1+\sqrt{85}}{6}\right). $$ **a)** $$ x \in [3,5] $$ **b)** $$ x \in (-\infty,0) \cup (3,\infty) $$ **c)** $$ x \in (-2,7) $$ **d)** $$ x \in (-\infty,-\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5},\infty) $$ **e)** $$ x \in \mathbb{R} $$ **f)** Nenhuma solução **g)** $$ x = 1 $$ **h)** $$ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} $$ **i)** $$ x \in \left(\frac{-1-\sqrt{85}}{6},\, \frac{-1+\sqrt{85}}{6}\right) $$

Resolve, em , as seguintes
inequações.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

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