5. Simplifica las expresiones: $$ \begin{array}{ll} ext { a. } \frac{\sqrt{\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{8}}}{\sqrt[6]{4}} & ext { d. } \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}} \ \begin{array}{ll} ext { b. } \frac{\sqrt{\sqrt{2^{5}}}}{\sqrt{\sqrt{{\sqrt{2^{4}}}^{2}}}} & ext { e. } \sqrt{\frac{4}{729}} \ ext { c. } \sqrt[4]{\sqrt[4]{9}} \ 5^{3^{4}} \sqrt[7]{3^{24}} & ext { f. } \sqrt{\frac{\sqrt[3]{1715}}{\sqrt[3]{5}}}\end{array}\end{array} $$.

Question

5. Simplifica las expresiones: $$ \begin{array}{ll}	ext { a. } \frac{\sqrt{\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{8}}}{\sqrt[6]{4}} & 	ext { d. } \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}} \ \begin{array}{ll}	ext { b. } \frac{\sqrt{\sqrt{2^{5}}}}{\sqrt{\sqrt{{\sqrt{2^{4}}}^{2}}}} & 	ext { e. } \sqrt{\frac{4}{729}} \ 	ext { c. } \sqrt[4]{\sqrt[4]{9}} \ 5^{3^{4}} \sqrt[7]{3^{24}} & 	ext { f. } \sqrt{\frac{\sqrt[3]{1715}}{\sqrt[3]{5}}}\end{array}\end{array} $$.

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**a.**  
Numerador:  
$$
\sqrt{\sqrt[3]{32}\cdot\sqrt[3]{8}} 
$$
Se tiene que  
$$
\sqrt[3]{32}=(2^5)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{3}},\quad \sqrt[3]{8}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2,
$$  
por lo que  
$$
\sqrt[3]{32}\cdot\sqrt[3]{8}=2^{\frac{5}{3}}\cdot 2=2^{\frac{5}{3}+1}=2^{\frac{8}{3}}.
$$  
Luego,
$$
\sqrt{2^{\frac{8}{3}}}=2^{\frac{8}{6}}=2^{\frac{4}{3}}.
$$

Denominador:  
$$
\sqrt[6]{4}=(4)^{\frac{1}{6}}=(2^2)^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{2}{6}}=2^{\frac{1}{3}}.
$$

Dividiendo numerador y denominador:
$$
\frac{2^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}=2^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{3}}=2.
$$

**b.**  
Numerador:  
$$
\sqrt{\sqrt{2^5}}.
$$
Recordando que $$\sqrt{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{4}}$$, se tiene:
$$
\sqrt{\sqrt{2^5}}=2^{\frac{5}{4}}.
$$

Denominador:  
$$
\sqrt{\sqrt{\left(\sqrt{2^4}\right)^2}}.
$$
Primero, se simplifica $$\sqrt{2^4}$$:
$$
\sqrt{2^4}=2^{\frac{4}{2}}=2^2.
$$
Luego,
$$
\left(2^2\right)^2=2^4.
$$
Aplicando de nuevo dos radicales:
$$
\sqrt{\sqrt{2^4}}=(2^4)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{4}{4}}=2.
$$

Por lo tanto, la fracción es:
$$
\frac{2^{\frac{5}{4}}}{2}=2^{\frac{5}{4}-1}=2^{\frac{5}{4}-\frac{4}{4}}=2^{\frac{1}{4}}.
$$

**c.**  
$$
\sqrt[4]{\sqrt[4]{9}}.
$$
Escribiendo en forma de exponentes:
$$
9^{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=9^{\frac{1}{16}}.
$$
Como $$9=3^2$$, se tiene:
$$
9^{\frac{1}{16}}=(3^2)^{\frac{1}{16}}=3^{\frac{2}{16}}=3^{\frac{1}{8}}.
$$

**d.**  
$$
\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}.
$$
Primero, expresar cada radical en forma exponencial:
$$
\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}},
$$
y
$$
\sqrt{\frac{1}{8}}=\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{2}}=8^{-\frac{1}{2}}=(2^3)^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{3}{2}}.
$$
Así,
$$
\frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{3}{2}}}=2^{\frac{1}{3}+\frac{3}{2}}.
$$
Para sumar los exponentes:
$$
\frac{1}{3}+\frac{3}{2}=\frac{2}{6}+\frac{9}{6}=\frac{11}{6}.
$$
Ahora, aplicamos la raíz cuarta:
$$
\sqrt[4]{2^{\frac{11}{6}}}=2^{\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{4}}=2^{\frac{11}{24}}.
$$

**e.**  
$$
\sqrt{\frac{4}{729}}.
$$
Aplicando la raíz a numerador y denominador:
$$
\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{729}}=\frac{2}{27},
$$
ya que $$\sqrt{4}=2$$ y $$\sqrt{729}=27$$ (puesto que $$27^2=729$$).

**f.**  
$$
\sqrt{\frac{\sqrt[3]{1715}}{\sqrt[3]{5}}}.
$$
Unir los radicales del mismo índice:
$$
\frac{\sqrt[3]{1715}}{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[3]{\frac{1715}{5}}.
$$
Calculamos:
$$
\frac{1715}{5}=343.
$$
Observamos que $$343=7^3$$, por lo que:
$$
\sqrt[3]{343}=7.
$$
Queda:
$$
\sqrt{7}=7^{\frac{1}{2}}.
$$

Respuestas finales:

a. $$2$$  
b. $$2^{\frac{1}{4}}$$  
c. $$3^{\frac{1}{8}}$$  
d. $$2^{\frac{11}{24}}$$  
e. $$\frac{2}{27}$$  
f. $$\sqrt{7}$$
a. 2 b. $$2^{\frac{1}{4}}$$ c. $$3^{\frac{1}{8}}$$ d. $$2^{\frac{11}{24}}$$ e. $$\frac{2}{27}$$ f. $$\sqrt{7}$$

Simplifica las expresiones:
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