9. Demostrar que: a) Si $$ A \in \mathbb{R}^{m x n} $$, entonces el producto $$ A . A^{t} $$ está definido y es una matriz simétrica. b) La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. c) El producto de dos matrices simétricas que conmutan es una matriz simétrica d) Sea $$ M $$ es una matriz cuadrada cualquiera entonces $$ M-M^{t} $$ es antisimétrica. e) La matriz $$ M=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ c & d & 0\end{array} ight) $$ es idempotente cualesquiera sean los valores de $$ c $$ y $$ d $$ reales.

Question

9. Demostrar que: a) Si $$ A \in \mathbb{R}^{m x n} $$, entonces el producto $$ A . A^{t} $$ está definido y es una matriz simétrica. b) La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. c) El producto de dos matrices simétricas que conmutan es una matriz simétrica d) Sea $$ M $$ es una matriz cuadrada cualquiera entonces $$ M-M^{t} $$ es antisimétrica. e) La matriz $$ M=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ c & d & 0\end{array}ight) $$ es idempotente cualesquiera sean los valores de $$ c $$ y $$ d $$ reales.

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Vamos a demostrar cada uno de los enunciados paso a paso.

### a) Si $$ A \in \mathbb{R}^{m \times n} $$, entonces el producto $$ A \cdot A^{t} $$ está definido y es una matriz simétrica.

**Demostración:**

1. **Definición del producto:** La matriz $$ A $$ tiene dimensiones $$ m \times n $$ y su transpuesta $$ A^{t} $$ tiene dimensiones $$ n \times m $$. Por lo tanto, el producto $$ A \cdot A^{t} $$ está definido y tendrá dimensiones $$ m \times m $$.

2. **Simetría:** Para mostrar que $$ A \cdot A^{t} $$ es simétrica, debemos demostrar que $$ (A \cdot A^{t})^{t} = A \cdot A^{t} $$.

$$
   (A \cdot A^{t})^{t} = (A^{t})^{t} \cdot A^{t} = A \cdot A^{t}
   $$

Por lo tanto, $$ A \cdot A^{t} $$ es simétrica.

### b) La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica.

**Demostración:**

1. Sea $$ B $$ y $$ C $$ matrices simétricas, es decir, $$ B^{t} = B $$ y $$ C^{t} = C $$.

2. Consideremos la suma $$ S = B + C $$.

3. Verificamos la simetría de $$ S $$:

$$
   S^{t} = (B + C)^{t} = B^{t} + C^{t} = B + C = S
   $$

Por lo tanto, la suma de matrices simétricas es simétrica.

### c) El producto de dos matrices simétricas que conmutan es una matriz simétrica.

**Demostración:**

1. Sea $$ B $$ y $$ C $$ matrices simétricas que conmutan, es decir, $$ B^{t} = B $$, $$ C^{t} = C $$ y $$ BC = CB $$.

2. Consideremos el producto $$ P = BC $$.

3. Verificamos la simetría de $$ P $$:

$$
   P^{t} = (BC)^{t} = C^{t}B^{t} = CB = BC = P
   $$

Por lo tanto, el producto de dos matrices simétricas que conmutan es simétrico.

### d) Sea $$ M $$ una matriz cuadrada cualquiera, entonces $$ M - M^{t} $$ es antisimétrica.

**Demostración:**

1. Consideremos la matriz $$ N = M - M^{t} $$.

2. Verificamos la antisimetría de $$ N $$:

$$
   N^{t} = (M - M^{t})^{t} = M^{t} - (M^{t})^{t} = M^{t} - M
   $$

Entonces, $$ N^{t} = -N $$, lo que implica que $$ N $$ es antisimétrica.

### e) La matriz $$ M=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ c & d & 0\end{array}\right) $$ es idempotente cualesquiera sean los valores de $$ c $$ y $$ d $$ reales.

**Demostración:**

1. Para que una matriz $$ M $$ sea idempotente, debe cumplirse que $$ M^2 = M $$.

2. Calculemos $$ M^2 $$:

$$
   M^2 = M \cdot M = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ c & d & 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ c & d & 0\end{array}\right)
   $$

Realizando la multiplicación:

$$
   M^2 = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ c & d & 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ c & d & 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ c & d & 0\end{array}\right)
   $$

Por lo tanto, $$ M^2 = M $$, lo que implica que $$ M $$ es idempotente.

Con esto, hemos demostrado todos los enunciados solicitados.
a) El producto $$ A \cdot A^{t} $$ es simétrica. b) La suma de matrices simétricas es simétrica. c) El producto de dos matrices simétricas que conmutan es simétrica. d) $$ M - M^{t} $$ es antisimétrica. e) La matriz $$ M $$ es idempotente para cualquier $$ c $$ y $$ d $$ real.

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