9. Demostrar que: a) Si \( A \in \mathbb{R}^{m x n} \), entonces el producto \( A . A^{t} \) está definido y es una matriz simétrica. b) La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. c) El producto de dos matrices simétricas que conmutan es una matriz simétrica d) Sea \( M \) es una matriz cuadrada cualquiera entonces \( M-M^{t} \) es antisimétrica. e) La matriz \( M=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ c & d & 0\end{array}\right) \) es idempotente cualesquiera sean los valores de \( c \) y \( d \) reales.

Claro, aquí tienes la información adicional que complementa el contenido de la pregunta de manera interesante: ¿Sabías que las matrices simétricas están relacionadas con varias propiedades fascinantes en álgebra lineal? Por ejemplo, todas las matrices simétricas tienen valores propios reales. Esto significa que, en problemas de optimización y en física, esas matrices son preferidas para ciertos cálculos, como la determinación de fuerzas en sistemas mecánicos. Además, un concepto interesante en la teoría de matrices se encuentra en la idempotencia. Una matriz \( M \) es idempotente si \( M^2 = M \). Este fenómeno aparece en estadísticas y teoría de conjuntos; por ejemplo, se utiliza en técnicas de regresión para proyectar datos en espacios menores mientras mantiene la información más relevante. ¡Es como aplicar un filtro de alta definición a tus datos!