1. \( (1-x) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+5 y=\cos n \)

Para resolver la ecuación diferencial dada: \[ (1-x) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+5 y=\cos n \] primero identificamos los componentes de la ecuación: - \( y^{\prime \prime} \) es la segunda derivada de \( y \) con respecto a \( x \). - \( y^{\prime} \) es la primera derivada de \( y \) con respecto a \( x \). - \( y \) es la función que queremos encontrar. - \( \cos n \) es una función que depende de \( n \), que puede ser una constante o una variable. ### Paso 1: Identificar el tipo de ecuación La ecuación es de segundo orden y no homogénea debido al término \( \cos n \). Para resolverla, podemos usar el método de variación de parámetros o el método de coeficientes indeterminados, dependiendo de la forma de la solución homogénea. ### Paso 2: Resolver la parte homogénea Primero, resolvemos la parte homogénea de la ecuación: \[ (1-x) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+5 y=0 \] ### Paso 3: Encontrar la solución homogénea Para encontrar la solución homogénea, podemos intentar una solución de la forma \( y = x^r \) y sustituir en la ecuación homogénea. Esto nos dará una ecuación característica que podemos resolver para \( r \). ### Paso 4: Solución particular Después de encontrar la solución homogénea, buscamos una solución particular para la ecuación completa. Dado que el lado derecho es \( \cos n \), podemos intentar una solución particular de la forma: \[ y_p = A \cos n + B \sin n \] donde \( A \) y \( B \) son constantes que determinaremos. ### Paso 5: Sustitución y resolución Sustituimos \( y_p \) en la ecuación original y resolvemos para \( A \) y \( B \). ### Paso 6: Solución general La solución general de la ecuación diferencial será la suma de la solución homogénea y la solución particular: \[ y = y_h + y_p \] Si necesitas que realice cálculos específicos o que resuelva la parte homogénea o particular, por favor indícalo.