8. Una empresa realiza pagos mensuales de $$ \$ 2,000 $$ en un fondo con una tasa del $$ 9 \% $$ anual capitalizable mensualmente. Si el fondo crece hasta $$ \$ 500,000 $$, ¿cuánto tiempo tomará?

Question

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Sea la fórmula del valor acumulado de una anualidad:

$$
A = P \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}
$$

donde  
$$ A $$ es el monto acumulado,  
$$ P = 2000 $$ es el pago mensual,  
$$ i = \frac{0.09}{12} = 0.0075 $$ es la tasa de interés mensual, y  
$$ n $$ es el número de meses.

1. Sustituimos los datos:

$$
500\,000 = 2000 \cdot \frac{(1.0075)^n - 1}{0.0075}
$$

2. Dividimos ambos lados de la ecuación por 2000:

$$
\frac{(1.0075)^n - 1}{0.0075} = \frac{500\,000}{2000} = 250
$$

3. Multiplicamos ambos lados por $$0.0075$$:

$$
(1.0075)^n - 1 = 250 \times 0.0075 = 1.875
$$

4. Sumamos 1 a ambos lados:

$$
(1.0075)^n = 2.875
$$

5. Aplicamos logaritmos (por conveniencia, logaritmo natural):

$$
\ln\big((1.0075)^n\big) = \ln(2.875)
$$

Utilizando la propiedad de los logaritmos, $$ \ln(a^n) = n \ln(a) $$:

$$
n \cdot \ln(1.0075) = \ln(2.875)
$$

6. Despejamos $$ n $$:

$$
n = \frac{\ln(2.875)}{\ln(1.0075)}
$$

7. Evaluamos las expresiones:

$$
\ln(2.875) \approx 1.056 \quad \text{y} \quad \ln(1.0075) \approx 0.00748
$$

Por lo tanto,

$$
n \approx \frac{1.056}{0.00748} \approx 141.3 \text{ meses}
$$

8. Convertimos el tiempo a años:

$$
\text{Años} \approx \frac{141.3}{12} \approx 11.78 \text{ años}
$$

La empresa necesita aproximadamente $$141$$ meses, es decir, cerca de $$11.8$$ años para que el fondo crezca hasta $$\$500,000$$.
La empresa necesitará aproximadamente 141 meses, o alrededor de 11.8 años, para que el fondo alcance \$500,000.

8. Una empresa realiza pagos mensuales de \( \$ 2,000 \) en un fondo con una tasa del \( 9 \% \) anual capitalizable mensualmente. Si el fondo crece hasta \( \$ 500,000 \), ¿cuánto tiempo tomará?

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