9. Una persona ahorra \( \$ 5,000 \) semestrales en una cuenta con una tasa del \( 8 \% \) anual capitalizable semestralmente. ¿Cuántos semestres tardará en reunir \( \$ 80,000 \) ?

Sean los siguientes datos: - Aporte semestral: \( R = \$5,\!000 \) - Monto meta: \( S = \$80,\!000 \) - Tasa anual: \( 8\% \) convertible semestralmente, por lo que la tasa semestral es \[ i = \frac{8\%}{2} = 4\% = 0.04. \] La fórmula del valor futuro de una anualidad es \[ S = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}, \] donde \( n \) es el número de períodos (semestres). Reemplazamos los valores conocidos: \[ 80000 = 5000 \cdot \frac{(1.04)^n - 1}{0.04}. \] Dividimos ambos lados de la ecuación por \( 5000 \): \[ \frac{80000}{5000} = \frac{(1.04)^n - 1}{0.04}, \] \[ 16 = \frac{(1.04)^n - 1}{0.04}. \] Multiplicamos ambos lados por \( 0.04 \): \[ 16 \cdot 0.04 = (1.04)^n - 1, \] \[ 0.64 = (1.04)^n - 1. \] Sumamos 1 a ambos lados: \[ 1.64 = (1.04)^n. \] Para despejar \( n \) utilizamos logaritmos: \[ n = \frac{\ln (1.64)}{\ln (1.04)}. \] Calculamos los valores: \[ \ln(1.64) \approx 0.4943, \qquad \ln(1.04) \approx 0.0392, \] \[ n \approx \frac{0.4943}{0.0392} \approx 12.6. \] Como \( n \) debe ser un número entero de semestres y para alcanzar o superar el monto objetivo se necesitará completar el semestre, redondeamos al entero mayor: \[ n \approx 13 \text{ semestres}. \]