4. Si: $$ x^{n}(2 x+3)=a x^{5}+b x^{4} $$, calcular: $$ a+b+n $$

Question

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Para resolver la ecuación $$ x^{n}(2 x+3)=a x^{5}+b x^{4} $$, primero expandimos el lado izquierdo de la ecuación.

1. **Expandir el lado izquierdo:**
   $$
   x^{n}(2x + 3) = 2x^{n+1} + 3x^{n}
   $$

2. **Igualar a la forma del lado derecho:**
   Ahora, igualamos esto a $$ a x^{5} + b x^{4} $$:
   $$
   2x^{n+1} + 3x^{n} = a x^{5} + b x^{4}
   $$

3. **Determinar los exponentes:**
   Para que ambos lados de la ecuación sean iguales, los exponentes de $$ x $$ deben coincidir. Esto nos da dos casos:

- Para $$ 2x^{n+1} $$ igual a $$ ax^{5} $$:
     $$
     n + 1 = 5 \implies n = 4
     $$
     Entonces, $$ a = 2 $$.

- Para $$ 3x^{n} $$ igual a $$ bx^{4} $$:
     $$
     n = 4 \implies b = 3
     $$

4. **Calcular $$ a + b + n $$:**
   Ahora que tenemos $$ a = 2 $$, $$ b = 3 $$ y $$ n = 4 $$:
   $$
   a + b + n = 2 + 3 + 4 = 9
   $$

Por lo tanto, el resultado es:
$$
\boxed{9}
$$
Para la ecuación $$ x^{n}(2x + 3) = a x^{5} + b x^{4} $$, los valores son $$ a = 2 $$, $$ b = 3 $$, y $$ n = 4 $$. Por lo tanto, $$ a + b + n = 9 $$.

4. Si: \( x^{n}(2 x+3)=a x^{5}+b x^{4} \), calcular: \( a+b+n \)

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