Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи предложенным способом решения. На реке организованы теплоходные туры выходного дня. Судно прошло по течению 126 км до стоянки, на которой пассажирам предложили выход на экскурсию (это мероприятие заняло 8 ч), после чего теплоход вернулся обратно к месту отплытия. Какова собственная скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки Волги на этом участке составляет в среднем 2 км/ч, а длительность всей поездки составляет ровно сутки?

Для решения задачи обозначим собственную скорость теплохода как \( v \) (в км/ч). Скорость теплохода по течению будет равна \( v + 2 \) км/ч, а против течения — \( v - 2 \) км/ч. 1. **Определим время в пути по течению и против течения.** Теплоход прошел 126 км по течению, поэтому время, затраченное на этот путь, можно найти по формуле: \[ t_1 = \frac{126}{v + 2} \] Затем теплоход вернулся обратно 126 км против течения, и время на этот путь будет: \[ t_2 = \frac{126}{v - 2} \] 2. **Общее время поездки.** Длительность всей поездки составляет 24 часа (сутки). Время, затраченное на экскурсию, составляет 8 часов. Таким образом, время в пути (вперед и назад) будет: \[ t_1 + t_2 = 24 - 8 = 16 \text{ часов} \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{126}{v + 2} + \frac{126}{v - 2} = 16 \] 3. **Упростим уравнение.** Умножим обе стороны уравнения на \( (v + 2)(v - 2) \) для избавления от дробей: \[ 126(v - 2) + 126(v + 2) = 16(v^2 - 4) \] Раскроем скобки: \[ 126v - 252 + 126v + 252 = 16v^2 - 64 \] Сложим подобные: \[ 252v = 16v^2 - 64 \] Переносим все в одну сторону: \[ 16v^2 - 252v - 64 = 0 \] 4. **Решим квадратное уравнение.** Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 16 \), \( b = -252 \), \( c = -64 \). Сначала найдем дискриминант: \[ D = (-252)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-64) = 63504 + 4096 = 67600 \] Теперь найдем корни: \[ v = \frac{252 \pm \sqrt{67600}}{32} \] \[ \sqrt{67600} = 260 \] \[ v = \frac{252 \pm 260}{32} \] Находим два возможных значения: \[ v_1 = \frac{512}{32} = 16 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-8}{32} = -0.25 \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем \( v = 16 \) км/ч. 5. **Проверка.** Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение условиям задачи. Скорость теплохода по течению: \[ v + 2 = 16 + 2 = 18 \text{ км/ч} \] Время в пути по течению: \[ t_1 = \frac{126}{18} = 7 \text{ ч} \] Скорость против течения: \[ v - 2 = 16 - 2 = 14 \text{ км/ч} \] Время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{126}{14} = 9 \text{ ч} \] Общее время в пути: \[ t_1 + t_2 = 7 + 9 = 16 \text{ ч} \] Длительность всей поездки: \[ 16 + 8 = 24 \text{ ч} \] Все условия задачи выполнены. **Ответ:** Собственная скорость теплохода составляет 16 км/ч.