Deriva la función $$ f(x)=x^{2}-4 x+5 $$ usando la fórmula: $$ f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ Calcula el valor de $$ f^{\prime}(3) $$, sustituyendo $$ x=3 $$ en la derivada obtenida del inciso a) para determinar el or de la pendiente de la recta tangente en el punto (3,f(3)). Gráfica la función. $$ f(x)=x^{2}-4 x+5 $$

Question

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Para derivar la función $$ f(x) = x^2 - 4x + 5 $$ usando la definición de la derivada, comenzamos con la fórmula:

$$
f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$

Primero, calculamos $$ f(x + \Delta x) $$:

$$
f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 - 4(x + \Delta x) + 5
$$

Desarrollamos esta expresión:

$$
f(x + \Delta x) = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - (4x + 4\Delta x) + 5
$$

Simplificando, obtenemos:

$$
f(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 4x - 4\Delta x + 5
$$

Agrupando términos:

$$
f(x + \Delta x) = x^2 - 4x + 5 + 2x\Delta x - 4\Delta x + (\Delta x)^2
$$

Ahora, restamos $$ f(x) $$:

$$
f(x + \Delta x) - f(x) = (x^2 - 4x + 5 + 2x\Delta x - 4\Delta x + (\Delta x)^2) - (x^2 - 4x + 5)
$$

Esto se simplifica a:

$$
f(x + \Delta x) - f(x) = 2x\Delta x - 4\Delta x + (\Delta x)^2
$$

Ahora, sustituimos esto en la fórmula de la derivada:

$$
f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2x\Delta x - 4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}
$$

Podemos simplificar el numerador:

$$
f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2x - 4 + \Delta x)}{\Delta x}
$$

Cancelamos $$ \Delta x $$ (siempre que $$ \Delta x \neq 0 $$):

$$
f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (2x - 4 + \Delta x)
$$

Al tomar el límite cuando $$ \Delta x $$ tiende a 0, obtenemos:

$$
f^{\prime}(x) = 2x - 4
$$

Ahora, para calcular $$ f^{\prime}(3) $$:

$$
f^{\prime}(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2
$$

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en el punto $$ (3, f(3)) $$ es 2.

Ahora, calculamos $$ f(3) $$:

$$
f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2
$$

Así que el punto es $$ (3, 2) $$.

Finalmente, graficamos la función $$ f(x) = x^2 - 4x + 5 $$. La gráfica es una parábola que abre hacia arriba, con su vértice en el punto $$ (2, 1) $$ y que pasa por el punto $$ (3, 2) $$.

Aquí tienes la gráfica de la función:

$$
\text{Gráfica de } f(x) = x^2 - 4x + 5
$$

- El vértice está en $$ (2, 1) $$.
- La pendiente de la recta tangente en $$ (3, 2) $$ es 2.

Si necesitas una representación visual, puedes usar herramientas de graficación como Desmos o GeoGebra.
Para derivar $$ f(x) = x^2 - 4x + 5 $$, obtenemos $$ f^{\prime}(x) = 2x - 4 $$. Calculando $$ f^{\prime}(3) $$, la pendiente en el punto $$ (3, f(3)) $$ es 2. $$ f(3) = 2 $$, por lo que el punto es $$ (3, 2) $$. La gráfica de $$ f(x) $$ es una parábola que abre hacia arriba, con vértice en $$ (2, 1) $$ y pasa por $$ (3, 2) $$.

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